Potenze

Riassunto:
Una potenza  è innanzitutto il prodotto multiplo di un numero con se stesso: a3 = a × a × a. La matematica moderna fornisce una generalizzazione naturale di questo concetto: Si scrive a-2 per indicare 1/a2 e a3/5 per la radice quinta di a3.

Parole chiave:
Potenze con esponente naturale  | Potenza | Base | Esponente | La regola fondamentaleEsponenti interi | a0 | a-1 | a-m | Esponenti razionali | a1/2 | a1/q | ap/q | a-p/q | Altre regole | Calcolo con le potenze | Semplificare la notazione | Trasformare espressioni | Denominatore razionale | Potenze e l'ordinamento dei numeri realiRiassunto | Prospettive
 
                                                                                                                                                                                                                                               
    
Potenze con esponente naturale
        
     

Possiamo moltiplicare 5 per tre volte con se stesso, cioè formare il prodotto 5 × 5 × 5 e indicarlo con 53. Possiamo farlo con  qualsiasi  numero (reale) e usare simboli astratti: Se a è un numero, la notazione a3 sta a indicare a × a × a,
e se vogliamo lasciare in sospeso anche il numero dei fattori, scriviamo an ( "a alla n"), dove n rappresenta un numero naturale qualsiasi (n = 1, 2, 3,...) . Chiamiamo
  • an una potenza (la "potenza n-esima di a"; si dice anche: "a elevato alla n"),
  • a la base
  • n l' esponente.
       






numeri reali
e numeri naturali
 
  Per lavorare con espressioni del genere si può applicare la seguente regola (identità) di importanza fondamentale:
       am + n   =   am a n       
(2)

Qui a rappresenta un numero reale qualsiasi. mn possono -
per ora - essere numeri naturali arbitrari (m, n = 1, 2, 3,...) La dimostrazione consiste nel contare i fattori: 53 (cioè 5 × 5 × 5) moltiplicato per 54 (also 5 × 5 × 5 × 5) è il prodotto di 5 con se stesso moltiplicato per 7 volte, cioè 57 ovvero 53 + 4. Questa regola connette il prodotto (di potenze) con la somma (degli esponenti). Pur essendo estremamente semplice ha varie conseguenze interessanti  come vedremo.

 
        
    
Potenze con esponenti interi
     
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Ha un senso moltiplicare un numero reale  a per "-1 volte con se stesso"? Può sembrare strano, ma lasciamoci guidare per un attimo dalla regola (2): Se proviamo a inserire m = 1 e n = -1 otteniamo a0 = a1 a-1. Che cosa potrebbe voler dire a0 ? Proviamo a porre m = 1 e n = 0 nella regola (2). Otteniamo a1 = a1 a0.  D'altra parte sappiamo che a1 = a
. Quindi a è uguale ad a moltiplicato con  a  . Ciò significa che, se vogliamo dare un senso a  a, dobbiamo porre 
                a0   =   1       
(3)

Possiamo pensare che a "è stato moltiplicato per zero volte con se stesso".

Riguardiamo l'enunciato  a0 = a1 a-1 . Dalla (3) segue a1 a-1 = 1. Quindi, se gli esponenti negativi hanno un senso,
avremo che a-1 è il  reciproco di a :
             a-1    =    1 
a
 .
(4)
Si noti però che questo è solo possibile quando a ¹ 0. Vediamo dunque che  la frase  "a viene moltiplicato per -1 volte con se stesso" può assumere un significato: Moltiplicare zero volte corrisponde al numero 1 per la (3), e un numero "negativo" di fattori corrisponde alla divisione. Infatti, se usiamo ancora una volta la regola (2)  ponendo n = -m, dove m è un numero naturale arbitrario (quindi n è negativo) otteniamo a0 = am a-m, e la (3) implica che a-m è il  reciproco di am :
             a-m   =   1
am
,
(5)
       
 
 
     che anche questa volta possiamo formare soltanto quando a ¹ 0. Questo è il risultato principale del paragrafo, la (4) ne è un caso particolare ( m = 1). Si vede facilmente che la regola (2) è valida anche quando gli esponenti  m e n sono numeri interi arbitrari.

 
     
 
    
Potenze con esponenti razionali
     
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Chiediamoci adesso se ha un senso formare una potenza con un numero razionale come esponente. Ricordiamoci: un numero razionale è un numero reale che può essere scritto come quoziente di due numeri interi (una frazione). Ha un senso
dunque moltiplicare un numero reale a per "1/2 volta con se stesso"? Cerchiamo anche questa volta di farci guidare dalla regola (2) . Poniamo m = 1/2 e n = 1/2 nella (2) e otteniamo a1 = a1/2 × a1/2 º (a1/2)2. Poiché a1 = a, la cosa ha solo un senso quando a1/2 è la radice quadrata di a :
             a1/2   =     __
Ö a
 
.
(6)
che naturalmente possiamo formare soltanto quando a ³ 0. 

Prima di continuare questo ragionamento soffermiamoci su una regola più generale che segue dalla (2). Moltiplicando entrambi i lati della (2) con ak, dove k è un numero naturale, e applicando la (2) abbiamo
        am + n + k   =   am a n ak .    
(7)


e più in generale per un numero arbitrario di addendi nell'esponente avremo
    am + n + ... + k   =   am a n ... ak      
(8)

Questo ci permette di estendere il nostro ragionamento al reciproco di un numero naturale qualsiasi q
Infatti se consideriamo la (8) nel caso in cui l'esponente contiene q addendi di forma 1/q, otteniamo a1 = a1/q × a1/q × ... × a1/q º (a1/q) q, da cui risulta che a1/q è la q-esima radice di a , cioè quel numero (positivo) reale la qui potenza q-esima è  a:
             a1/q   =       __
qÖ a
 
.
(9)
Anche questo è soltanto possibile quando a ³ 0.
      




numeri razionali

 

 

 

 

Radici

 
     Adesso dobbiamo fare un ultimo passo per poter considerare il caso di un numero razionale arbitrario nell'esponente. Cominciamo con i numeri razionali positivi (quindi quozienti p/q di due numeri naturali). Osserviamo che quando nella (8) l'esponente contiene  p addendi di forma 1/q, abbiamo a p/q = (a1/q) p, dove p e q sono numeri naturali arbitrari e  a1/q è definito dalla (9). Dunque a p/q è la  p-esima potenza della radice q-esima di a, e si vede facilmente che ciò coincide con la q-esima radice della p-esima potenza di a. Abbiamo quindi    
                 a p/q   =   (a1/q) p   =   (a p)1/q        
(10)

Infine, se vogliamo mantenere valida la relazione (5) anche quando m è un numero razionale, otteniamo la seguente definizione per i numeri razionali negativi  :
          a-p/q   =   1
a p/q
,
(11)
     
 
      dove il denominatore è definito dalla (10) . Possiamo verificare che le regole (2) e (5) rimangono valide anche per gli esponenti razionali.


Inoltre si derivano facilmente anche altre regole per il calcolo con le potenze:
             a(m - n)   =   am
an
(12)

                  (am)n   =   amn       
(13)


         æ
ç
è
 1 
a
ö
÷
ø
m

 
  =    1
a m
  
(14)


                (a b) m    =    am bm       
(15)
 
æ
ç
è
 a 
b
ö
÷
ø
m

 
  =    a m
b m
  
(16)
 
           æ
ç
è
 a 
b
ö
÷
ø
-m

 
  =    æ
ç
è
 b 
a
ö
÷
ø
m

 
  .
(17)

Nelle (12)-(17) si hanno numeri razionali arbitrari m e n. La (14) ad esempio per m = 1/2 ci dice che la radice quadrata di 1/a è uguale al reciproco della radice quadrata di a.
       
 
    
Il passo successivo consisterebbe nell'estendere il concetto di potenza anche al caso in cui l'esponente è un numero reale arbitrario. Ciò avverrà in un capitolo successivo.

 
     


esponenti reali
 
    
Calcolo con le potenze
     
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Esercitiamoci ad usare le potenze.


Semplificare la notazione


Il concetto esteso di potenza ha un effetto pratico: ci permette di evitare l'uso di radici e frazioni nelle espressioni. Ad esempio
1
  _____
Ö- x2
 
(18)
può essere scritto come (1 - x2)-1/2.


Trasformare espressioni


La notazione con le potenze ci fornisce una visione unificata di operazioni diverse, come calcolare il quadrato, estrarre radici o formare il reciproco. Guardiamo un esempio. Come si può semplificare la seguente espressione?
  __
Ö x
 
 (1 + y)2

x   _____
Ö1 + y
 
(19)
La notazione unificata ci permette di scriverla in forma
    x1/2  (1 + y)2
x  (1 + y)1/2
(20)

e così basta applicare due volte la regola (12) - letta da destra verso sinistra - per trasformarla in
     x-1/2  (1 + y)3/2
(21)


  .


Denominatore razionale 


Pensiamo di dover calcolare
Ö2   -  1
Ö2
(22)
Moltiplicando numeratore e denominatore della frazione con Ö2 la  (22) diventa
Ö2   -  1
2
Ö,
(23)
dalla quale si ricava subito il risultato
          1
2
Ö2
(24)
Il trucco è di  "rendere razionale il denominatore" .

In generale può essere utile trasformare in questa maniera le frazioni con radici quadrate nel denominatore. La chiave è l'identità  
1
Öa
  =   1
a
Öa ,
(25)
valida per qualsiasi a > 0.   

                                

Potenze e l'ordinamento dei numeri reali

 

       
 
 
      Intuitivamente siamo abituati a pensare che elevare a potenza un numero maggiore di 1 aumenta la sua grandezza. Esempio: 22 º 4 > 2. Ciò non è sempre valido quando l'esponente è razionale. Ad esempio 41/2 fa 2 ed è quindi minore di 4. Anche gli esponenti negativi possono andare contro all'intuizione per l'ordinamento dei numeri reali. Per esempio (1/4)-1/2 = 2 è maggiore di  1/4. Per ovviare a questi pericoli conviene tenere presente le seguenti regole, dove m ed m' sono numeri razionali:
  • Quando la base a > 1, si ha che m < m'  implica  am < am'.
  • Quando la base a < 1, si ha che m < m'  implica  am > am'.
Ponendo m oppure m' uguale a 0 oppure 1 si ottengono le situazioni più frequenti:
 
Esempio 1: Se a > 1 ed m < 1, allora am < a. (porre m' = 1 nella prima regola).

Esempio 2: Se a > 1 ed m > 0, allora am > 1. (porre m = 0 nella prima regola e sostituire m' con m). Possiamo quindi dire con certezza che il numero 1.010.7 è maggiore di 1
senza starlo a calcolare.

Anche le regole di calcolo per le potenze tornano utili in questi casi:
 
Esempio 3: Il numero 0.20.7 è maggiore o minore di 1?
Poiché 0.2 = 1/5, possiamo scrivere la potenza come (1/5)0.7 = 1/(50.7). Ma  (per la regola trovata nell'esempio 2) sappiamo che 50.7 > 1, quindi il suo reciproco è minore di 1.

Esempio 4: Il numero 0.2-0.7 è maggiore o minore di 1?
Scriviamo 0.2-0.7 = 1/(0.20.7) che è il reciproco della potenza considerata nell'esempio 3 e quindi sappiamo subito che la risposta è "maggiore di 1".

Per potenze con lo stesso esponente e base diversa si usino le regole seguenti (che si ricavano facilmente dalle precedenti): Per 0 < a < b vale: Se  m > 0, allora  am < bm; se m < 0, allora  am > bm.


 
      
ordinamento dei numeri reali
 
    
Riassunto e prospettive
     
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In quest'ultimo paragrafo riassumiamo le definizioni per le potenze con esponente razionale e diamo uno sguardo ai temi dei capitoli successivi.


Riassunto


Nel secondo e terzo paragrafo di questo capitolo abbiamo definito potenze ax in cui l'esponente x è un numero
razionale qualsiasi (cioè un numero reale che può essere scritto come quoziente di due numeri interi). Passiamo in rassegna le definizioni:


  1. L'esponente è un numero naturale:
    Per un numero naturale m (m =1, 2, 3,...) la potenza am è il prodotto m-esimo di a con se stesso (la potenza m-esima di a): a × a × ... × a.
     
  2. L'esponente è zero:
    In questo caso poniamo a0 = 1. Si veda (3) sopra.
     
  3. L'esponente è un numero negativo intero:
    Per un numero naturale m si ha a-m = 1/am. Si veda (5) sopra.
     
  4. L'esponente è il reciproco di un numero naturale:
    Per un numero naturale q la potenza a1/q è la radice q-esima di a, cioè quel numero positivo la cui potenza q-esima è uguale ad a. Si veda (9) sopra.
     
  5. L'esponente è un numero positivo razionale:
    Per due numeri naturali p e q si ha a p/q  =  (a p)1/q, cioè la radice q-esima di  a p. Ciò coincide con (a1/q) p, cioè la potenza p-esima di a1/q, dove a1/q è definito al punto 4. Si veda (10) sopra.
     
  6. L'esponente è un numero negativo razionale:
    Per un numero positivo razionale x si ha a-x = 1/ax, dove ax è definito al punto 5. Ponendo  x = p/q
    ritroviamo la (11).
     
 
      Qui a è un numero reale (la base):
  • che deve soddisfare a ³ 0 ogni volta che si estrae una radice.
  • che deve soddisfare a ¹ 0 ogni volta che si forma il reciproco.
Così è definita la potenza ax per qualsiasi  x razionale. Le definizioni sono scelte in maniera tale da garantire la validità della regola (2) anche per esponenti razionali. Di conseguenza si ottengono le identità (12)-(17).


Prospettive


Avevamo già visto in precedenza (nel capitolo "Numeri") il concetto di potenza. Adesso l'abbiamo precisato e generalizzato. Lo svilupperemo ulteriormente e lo analizzeremo nei capitoli successivi:
  • Quando fissiamo l'esponente e consideriamo la dipendenza di una potenza dalla sua base, cioè la funzione 
    x  ®  xm
    con m fisso, si parla di funzione potenza. Proprietà e grafici di queste funzioni quando l'esponente m è intero si trovano nel capitolo "Funzioni".
  • La definizione di potenza può essere estesa ad esponenti reali. Ciò avverrà nel capitolo "Funzioni esponenziali e logaritmi".
  • Nello stesso capitolo considereremo anche il caso in cui si fissa la base e si studia la dipendenza di una potenza dal suo esponente. Si tratta della funzione
    x  ®  ax
    con a > 0 fisso, la funzione esponenziale. Tali funzioni si usano per descrivere processi di crescita o decadimento e danno luogo alla definizione del logaritmo.
  • Infine si possono definire anche potenze con numeri complessi come base o come esponente.

 .Il motore per questi ulteriori sviluppi sarà ancora la semplice regola (2) .

      
 

 

 

 

 

 

 

 

 

Grafici di
funzioni potenza

 



Funzioni esponenziali
e logaritmi