Seno e Coseno per angoli speciali - dimostrazioni:
I valori per a = 0°,
90°, 180° e 270° derivano immediatamente dalle
definizioni o dalla circonferenza goniometrica.
Dimostrazione per a = 30°
e 60°
Questi angoli compaiono nel triangolo equilatero se si riporta anche
un'altezza:
Per il triangolo evidenziato vale per il Teorema di Pitagora
a2 -
æ ç
è
a
2
ö ÷
ø
2
= h2,
cioè
3 a2
4
= h2,
per cui
h =
1
2
__ Ö 3
a
L'ipotenusa del triangolo evidenziato
è a.
Per l'angolo 30° il cateto adiacente è h
e il cateto opposto a/2;
per l'angolo 60° invece h
è
il cateto opposto mentre
a/2 è il cateto adiacente.
Da ciò segue immediatamente
sin(30°)
=
a/2a
=
1
2
cos(30°)
=
h a
=
1
2
__ Ö 3
sin(60°)
=
h a
=
1
2
__ Ö 3
cos(60°)
=
a/2a
=
1
2
,
(dove abbiamo reso razionali i denominatori).
Dimostrazione per a = 45°
Consideriamo un triangolo retto-isoscele:
In questo caso il Teorema di Pitagora ci dice che
c
= a
__ Ö 2
(che è poi la formula per la diagonale del quadrato).
L'ipotenusa del triangolo è c.
Il cateto adiacente e quello opposto a 45° sono entrambi uguali ad
a. Quindi
sin(45°) =
cos(45°) =
1
Ö2
º
1
2
__ Ö 2
,
(anche qui abbiamo reso razionali i denominatori).
