Dimostrazione delle identità  (8) - (11):

La circonferenza goniometrica è uno strumento ideale per questo tipo di dimostrazioni. Riportiamo qui sotto due schizzi - come esercizio si traccino gli schizzi che illustrano i casi rimanenti.



sin(90° - a)  =  cos a
cos(90° - a)  =  sin a
(8)

Dimostrazione: Nello schizzo rappresentiamo 90° - a con un raggio ottenuto da quello per a con una simmetria rispetto alla prima bisettrice (cioè al raggio per 45°). Passando da a a 90° - a seno e coseno si scambiano quindi di ruolo:


Le scritte in grassetto  a  e  90° - a  indicano gli angoli corrispondenti ai raggi. Segmenti di uguale colore hanno uguale lunghezza. Per dimostrare la identità (8) per qualsiasi angolo, si consideri come cambiano i segni quando l'angolo a  diventa maggiore di 90°!

Dimostrazione alternativa (per 0° < a < 90°): In un triangolo rettangolo che possiede l'angolo a sappiamo che l'altro angolo non retto è  90° - a. Per quest'ultimo il cateto adiacente è quel lato che è il cateto opposto ad a, e viceversa. Passando da a a 90° - a seno e coseno si scambiano quindi di ruolo.


sin(a + 90°)  =  cos a 
cos(a + 90°)  =  -sin a
(9)

Dimostrazione: Nello schizzo rappresentiamo a + 90° con un raggio ottenuto da quello per a con una rotazione di 90° in senso antiorario, quindi un raggio perpendicolare al primo. Quando a è fra  0° e 90°, la situazione è la seguente:


Si considerino i due triangoli evidenziati. Sono ruotati di  90° uno rispetto all'altro. Segmenti di uguale colore hanno uguale lunghezza. I segmenti verdi sono entrambi positivi, e così si dimostra la prima identità. Invece uno dei due segmenti blu è orientato verso sinistra ed è quindi negativo,  - ciò spiega il segno meno nella seconda identità. Per dimostrare la identità (9) per qualsiasi angolo, si consideri come cambiano i segni quando l'angolo a diventa maggiore di 90°!


sin(180° - a)  =  sin a   
cos(180° - a)  =  -cos a
(10)

Dimostrazione: Possiamo rappresentare 180° - a nella circonferenza goniometrica con un raggio ottenuto da quello per a attraverso una simmetria rispetto all'asse verticale. Quindi il seno (che è riportato verticalmente) rimane immutato quando si passa da a a 180° - a, mentre il coseno (che è riportato orizzontalmente) cambia di segno. 


sin(a + 180°)  =  -sin a  
cos(a + 180°)  =  -cos a.
(11)

Dimostrazione: Possiamo rappresentare a + 180° nella circonferenza goniometrica con un raggio che è l'opposto di quello per a . Quindi entrambi le funzioni cambiano di segno quando si passa da  a a a + 180°.