Dimostrazione della formula risolutiva ridotta di un'equazione di secondo grado:

La dimostrazione si basa sull'identità
( x + p/2 )2   =  x2 + p x + p2/4 ,
(1)
che si ottiene da ( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2 ponendo a = x e b = p/2 . Possiamo anche scriverla come
x2 + p x   =  ( x + p/2 )2 -  p2/4
(2)
Nell'espressione a sinistra troviamo x2 e  x, mentre a destra x si trova solamente all'interno di una parentesi elevata al quadrato, e il quadrato è stato completato.

Il membro sinistro di (2) è parte dell'espressione che troviamo nella forma tipica dell'equazione di secondo grado x2 + p x + q = 0. Se riscriviamo quest'ultima in forma

x2 + p x   =  - q ,
(3)
possiamo usare la (2) per semplificarla. Sostituendo infatti x2 + p x con il membro destro dell'identità (2), la nostra equazione di secondo grado diventa
( x + p/2 )2 -  p2/4 = - q .
(4)
Sommando p2/4 a entrambi i membri, si ottiene
( x + p/2 )2   =  p2/4 - q
(5)
Se non ci lasciamo confondere dalle varie lettere che compaiono, vediamo che questa è un'equazione dalla struttura molto semplice. Il membro sinistro è un quadrato e quindi è sempre maggiore o uguale a  0 per qualsiasi valore di  x.  Il membro destro è una combinazione di p e q che sono numeri dati e caratterizzano l'equazione.

Si noti che abbiamo eseguito solo trasformazioni equivalenti, per cui la (5) è equivalente all'equazione di partenza e possiede le stesse soluzioni. La usiamo adesso per risolvere l'equazione.

L'idea è di estrarre la radice di entrambi i membri della (5) per eliminare il quadrato. Dobbiamo però fare attenzione e distinguere tre casi:

Se  p2/4 - q < 0, allora si ha per qualsiasi numero reale x che il membro sinistro della (5) è un numero maggiore o uguale a  0, mentre il membro destro è un numero negativo. L'enunciato dell'equazione dunque non è mai vero. Non esiste soluzione reale.  

Se p2/4 - q = 0, allora l'equazione (5) ci dice che

( x + p/2 )2  =  0 .
(6)
Ma se il quadrato di un numero è 0, allora il numero stesso è 0. Se x è una soluzione, deve quindi soddisfare  x + p/2 = 0. Concludiamo che
x   =  - p/2
(7)
è la (unica) soluzione.

Se p2/4 - q > 0, allora l'equazione (5) ci dice che il quadrato di x + p/2 è uguale a un certo numero positivo (dato). Quindi  x + p/2 deve essere la radice di questo numero oppure il negativo della radice. Possiamo esprimerlo brevemente così:

x + p/2   =  ±   _______
Ö p2/4 - q
 
(8)
dove il  doppio segno va letto in senso di "oppure". Sottraendo  p/2 da entrambi i membri otteniamo
x   =  - p/2  ±   _______
Ö p2/4 - q
 
  .
(9)
A destra troviamo due numeri - uno per ciascun segno - che possono essere calcolati direttamente se  p e q sono noti. Troviamo quindi due soluzioni che chiameremo x1 e x2, dunque
x1,2   =  - p/2  ±   _______
Ö p2/4 - q
 
  .
(10)

La trattazione dimostra anche che non sono possibili altri casi.