Equazioni

Riassunto:
Un'equazione è una "tesi". Per certi valori delle variabili può rappresentare un enunciato vero. Questi valori si chiamano soluzioni. Equazioni semplici possono essere risolte con metodi sistematici.

Parole chiave:
Equazione | Insieme di base | Soluzione e insieme delle soluzioni | Identità | Trasformazioni equivalenti | Equazioni lineari | Forma tipica di un'equazione lineare | Equazioni di secondo grado | Forma tipica di un'equazione di secondo grado   | Formula risolutiva ridotta | Il Teorema di Vieta | Formula risolutiva generale  | Equazioni di terzo grado, equazioni fratte ed equazioni irrazionali | Insieme di definizione | Metodi risolutivi | risolvere equazioni di terzo grado | risolvere un'equazione fratta | risolvere un'equazione irrazionale
 
                                                                                                                                                                                                                                                  
     
Che cos'è un'equazione?
          
     

Un' equazione in una variabile (incognita) x è una "tesi" del tipo
membro sinistro = membro destro,
(1)
dove
membro sinistro e membro destro sono espressioni nella variabile x. Qui x sta a indicare un elemento - a priori arbitrario - di un insieme G (insieme di base), che deve essere indicato insieme all'equazione. Quando l'insieme di base non è indicato esplicitamente, si assume che esso sia l'insieme R dei numeri reali.

Una soluzione dell'equazione (1) è un elemento x Î G per il quale la "tesi" membro sinistro = membro destro è un enunciato vero. L'insieme di tutte le soluzioni sarà indicato con L. Potrà contenere uno o più (addirittura anche un numero infinito di) elementi oppure potrà essere l'insieme vuoto.

 Per la variabile (incognita) si usa spesso la lettera x, ma si possono usare anche altre lettere.

Esempio:        x + 2 = 5    sull'insieme   G = R  dei numeri reali.
Significato: Questa "tesi" diventa un enunciato vero soltanto quando x è un numero reale che sommato a 2 dà 5. C'è un unico numero x con questa proprietà, e cioè 3. E' la (unica) soluzione, quindi L = {3}.

Esempio:       n + 1 = n    sull'insieme   G = N dei numeri naturali.
Significato: Questa "tesi" diventa un enunciato vero soltanto quando n è un numero naturale che sommato a 1 risulta uguale a se stesso. Ciò non si verifica per nessun numero naturale: la "tesi" non è mai vera. Quindi l'equazione non ha soluzione e  L = { }.

       



 
 
      Esempio:       r2 = 4     sull'insieme    G = R.
Significato: Questa "tesi" diventa un enunciato vero soltanto quando r è un numero naturale il cui quadrato è 4. Ciò si verifica per il numero 2, ma anche per il numero  -2. L'equazione ha due soluzioni, r = -2 e r = 2. Quindi L = {-2, 2}.

Esempio:       2 ( x + 1 ) = 2 x + 2    sull'insieme   G = R.
Significato: Se togliamo le parentesi vediamo che questa "tesi" è  sempre un enunciato vero, cioè si verifica per qualsiasi x Î G. L'insieme delle soluzioni coincide dunque con l'insieme di base L = G. Abbiamo già visto tali enunciati in un capitolo precedente: si chiamano identità. Quindi un'identità è un'equazione che è verificata quali che siano i valori numerici attribuiti alle variabili .


       

Identità


 
     
Trasformazioni equivalenti
       
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Alcune equazioni si risolvono facilmente. La tecnica risolutiva principale consiste nel trasformare un'equazione in modo tale da mantenere immutata la "tesi" che essa rappresenta. Tale procedimento si chiama trasformazione equivalente.

Una trasformazione equivalente  consiste nel trasformare alla stessa maniera il membro sinistro e il membro destro. Questa trasformazione  inoltre deve essere reversibile: deve essere possibile ritornare all'equazione originale con un'ulteriore trasformazione. In tal caso l'equazione originale e quella trasformata contengono la medesima informazione (sono quindi  "equivalenti") e l'insieme di soluzioni è il medesimo.

In pratica le trasformazioni equivalenti vengono adoperate per semplificare un'equazione senza modificare l'insieme delle soluzioni. Nel caso di un'equazione lineare è sempre possibile ottenrere dopo poche trasformazioni un'equazione che fornisce esplicitamente la soluzione. 

       
 
 
      Le trasformazioni equivalenti principali sono:        

spiegazione
 
     
  • Sommare la stessa espressione a entrambi i membri di un'equazione.
    (Caso particolare: sommare o sottrarre lo stesso numero a entrambi i membri)
  • Moltiplicare entrambi i membri con la stessa espressione (che dovrà essere sempre diversa da zero)
    (Caso particolare: moltiplicare o dividere entrambi i membri per un numero diverso da zero).
Tutte queste trasformazioni sono reversibili e non modificano l'informazione contenuta nell'equazione.

Attenzione: Elevare al quadrato entrambi i membri di un'equazione non  è una trasformazione equivalente! Esempio: x = 2 è una semplicissima equazione con soluzione L = {2}. Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene x2 = 4 per la quale, come abbiamo visto sopra, l'insieme delle soluzioni è L = {-2, 2}. Quindi x = 2 e x2 = 4 non sono equazioni equivalenti.

       

Nell' Applet
Trasformazioni equivalenti

ci si può esercitare a  riconoscere quando due equazioni sono equivalenti
 
     
Equazioni lineari
       
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Un'equazione lineare (nella variabile x) è un'equazione del tipo
A x + B = C x + D,
(2)
dove A, B, C e D sono numeri dati (noti). Le equazioni lineari si chiamano anche equazioni di primo grado. Assumeremo sempre che l'insieme di base è l'insieme R dei numeri reali.

Esempi di equazioni lineari:
            3 x + 2 = x - 1        (qui A = 3, B = 2, C = 1 e D = -1)
                 x + 3 = x           (qui A = 1, B = 3, C = 1 e D = 0)
                 x - 1 = 0           (qui A = 1, B = -1, C = 0 e D = 0)


 Situazioni tipiche


A volte possiamo trasformare equazioni apparentemente complicate in equazioni lineari.

Esempio: Equazione data:    ( x + 1 )2 = x2 + 5
Soluzione: Togliere le parentesi al membro sinistro ed eseguire le trasformazioni indicate a fianco:
            x2 + 2 x + 1 = x2 + 5            |      - x2
             2 x + 1 = 5                          |      - 1
             2 x = 4                                |      : 2
               x = 2
che ci da la soluzione. I monomi  x2 sono stati eliminati e l'equazione si è rivelata lineare.

L'equazione x = x + 1 dimostra che l'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare può essere l'insieme vuoto.

L'equazione 2 x + 1 = 2 x + 1 (che è verificata per qualsiasi numero) dimostra che un'equazione lineare può avere un numero infinito di soluzioni .


Forma tipica di un'equazione lineare


Ciascuna equazione lineare può essere messa - tramite trasformazioni equivalenti - in forma
a x + b = 0
(3)
dove a e b sono numeri fissi (noti). Sull'insieme di base G = R  abbiamo lo schema seguente:
  • Se a = 0 e b = 0, allora L = R      (qualsiasi numero reale è una soluzione).
  • Se a = 0 e b ¹ 0, allora L = { }     (non ammette soluzione).
  • Se a ¹ 0, allora L = {- b/a}           (ammette l'unica soluzione x = - b/a).
Un'equazione lineare sull'insieme G = R può dunque
  • non ammettere soluzione, oppure
  • ammettere un'unica soluzione, oppure
  • essere risolta da qualsiasi numero reale.
Non esistono altre possibilità!

Da ciò deduciamo inoltre che la soluzione di un'equazione lineare del tipo (3) dove a e b sono numeri interi (e a ¹ 0), è sempre un numero razionale.
Esempio:    6 x + 4 = 0    ha la soluzione x = - 4/6 = - 2/3.


       
numeri razionali






 
     
Equazioni di secondo grado
       
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Un' equazione di secondo grado (anche detta equazione quadratica) è un'equazione del tipo
a x2 + b x + c = 0,
(4)
oppure un'equazione che può essere ridotta a questa forma. Qui a, b e c sono numeri fissi (noti) e si chiamano coefficienti dell'equazione, e inoltre a ¹ 0. (altrimenti con a = 0 avremmo un'equazione lineare). Poiché a ¹ 0, possiamo dividere entrambi i membri dell'equazione per a. Ponendo b/a = p e c/a = q vediamo che un'equazione di secondo grado può sempre essere scritta in forma
x2 + p x + q = 0
(5)
che chiameremo forma tipica di un'equazione di secondo grado. I numeri p, q sono i coefficienti, a volte anche detti parametri. In un certo senso possiamo pensare che essi "enumerino" tutte le equazioni di secondo grado, poiché per ogni scelta di valori concreti per questi parametri in (5) otteniamo un'equazione di secondo grado. Come insieme di base G scegliamo l'insieme R dei numeri reali.

Le equazioni di secondo grado più semplici sono:

  • x2 = 1        (ammette due soluzioni reali: ±1)
  • x2 = 0        (ammette una soluzione reale: 0)
  • x2 = -1       (non ammette soluzioni reali)
Questi tre esempi caratterizzano ciò che può avvenire anche in casi più generali.
(Esercizio: Si mettano le tre equazioni in forma tipica. Risposte.  
   x2 - 1 = 0,  cioè p = 0 e q = -1,
   x2 = 0,  cioè p = 0 e q = 0,
   x2 + 1 = 0,  cioè p = 0 e q = 1.)


Formula risolutiva ridotta


Per le soluzioni di un'equazione di secondo grado del tipo (5) possiamo usare la seguente formula:
x1,2   =  - p/2   ±   ________
Ö p2/4 - q
 
 .
(6)
       
 
 
      E' talmente importante che è necessario conoscerne la dimostrazione (cliccare qui a fianco a destra) e inoltre è una formula da ritenere a memoria.
       
 Dimostrazione
 
      Il significato è il seguente: A seconda che  p2/4 - q  (il numero sotto radice) sia negativo, 0 oppure positivo, l'equazione non ammette soluzioni reali, ne ammette una oppure due.
  • Se p2/4 - q < 0, allora si ha un numero negativo sotto radice. Poiché (nell'ambito dei numeri reali) non si può estrarre la radice da un numero negativo, l'equazione non ammette soluzioni reali, quindi L = { }.
  • Se p2/4 - q = 0, allora si ha 0 sotto radice, e poiché Ö0 = 0 l'equazione ammette un'unica soluzione x = - p/2. Quindi L = {-p/2}. La formula fornisce due numeri identici: x1 = x2 = - p/2.
  • Se p2/4 - q > 0, allora si ha un numero positivo sotto  radice. In questo caso l'equazione ammette due soluzioni  reali x1 e x2, che sono quelle indicate dalla formula. Quindi L = {x1, x2} con
    x1  
    =
     - p/2   -   ________
    Ö p2/4 - q
     
    (7)
    x2  
    =
     - p/2   +   ________
    Ö p2/4 - q
     
    (8)
Il numero p2/4 - q  decide quindi il numero di soluzioni. Si chiama discriminante.

       
A questo proposito si vedano anche i due Applets
Equazioni quadratiche

 
 
     
Riassumiamo: Un'equazione di secondo grado può avere due, una oppure nessuna soluzione. Più avanti ci occuperemo di equazioni di secondo grado sotto un altro punto di vista e vedremo una spiegazione geometrica di questo fatto.

 
       

spiegazione geometrica
 
      Si ricordi che la radice di un numero reale (non negativo ) per definizione è sempre ³ 0. (ad esempio Ö4 ha solo un valore, e cioè 2, mentre ± Ö4 sta a indicare ± 2, cioè i due valori - 2 e 2).

Esempio:
Equazione data:    x2 - 5 x + 6 = 0        (cioè  p = - 5  e  q = 6)
La formula ci dà

x1,2  =  5/2   ±   _______
Ö25/4 - 6
 
  =  5/2    ±   ___
Ö1/4
 
 .
(9)
Poiché sotto radice abbiamo un numero positivo (cioè 1/4), l'equazione ammette due soluzioni reali. La radice di 1/4 è uguale a  1/2, e quindi x1,2 = 5/2 ±1/2, ovvero x1 = 5/2 - 1/2 = 2 e x2 = 5/2 + 1/2 = 3. Concludiamo che L = {2, 3}.

       
la radice è
sempre ³ 0
 
      Esempio:
Equazione data:    x2 - 2 = 0        (cioè  p = 0  e  q = - 2)
Possiamo scriverla come   x2 = 2  e ricavare le soluzioni  ±Ö2. Qui non serve la formula, comunque essa ci darebbe
x1,2 = 0  ±   ____
Ö0 + 2
 
= ±Ö2
(10)
Quindi L = {-Ö2, Ö2}.

L'ultimo esempio illustra un fatto che risulta anche dalla formula (6). Quando i coefficienti  p, q sono interi, le soluzioni contengono radici di numeri razionali e quindi in genere sono numeri irrazionali. Solo in alcuni casi particolari (che però vengono scelti spesso come esempi) compaiono radici che sono numeri razionali (o addirittura interi)
       
numeri razionali e
irrazionali
 
     

Il Teorema di Vieta


Problema: Si trovi un'equazione di secondo grado che abbia come soluzioni i numeri 1 e 2 !
Soluzione: L'equazione è
( x - 1) ( x - 2 ) = 0 .
(11)
Si vede subito che l'equazione è verificata per x = 1 (perché il primo fattore in tal caso è zero) e per  x = 2 (perché il secondo fattore in tal caso è zero).

 

       
 
 
      Per mascherare la semplicità della soluzione togliamo le parentesi e scriviamo
( x - 1 ) ( x - 2 ) = x2 - 3 x + 2.
(12)
Si noti che questa non è un'equazione, ma un' identità. Abbiamo semplicemente trovato due maniere di esprimere la stessa cosa. Possiamo adesso scrivere la  (11) in forma
x2 - 3 x + 2 = 0
(13)
 
       




Identità
 
     

Ripetiamo l'argomento, ma adesso invece di fissare dei valori per le soluzioni, le chiamiamo semplicemente x1 e x2. L'equazione di secondo grado che possiede x1 e x2 come soluzioni è

( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0 .
(14)
Togliendo le parentesi a sinistra si ha
( x - x1 ) ( x - x2 ) = x2 - ( x1 + x2 ) x + x1 x2 ,
(15)
che è un'identità: due modi di esprimere la stessa cosa. Quindi possiamo scrivere la (14) in forma
x2 - ( x1 + x2 ) x + x1 x2 = 0
(16)
e sappiamo senza dover fare ulteriori calcoli che le soluzioni sono x1 e x2. Ma questa equazione non è altro che la forma tipica che abbiamo visto in (5). Infatti è del tipo x2 + p x + q = 0  con
p
=
- (x1 + x2 )
(17)
q
=
x1 x2 .
(18)
Ma allora possiamo scegliere le soluzioni che vogliamo ottenere e calcolare l'equazione corrispondente tramite queste formule!

Questo enunciato è il Teorema di Vieta che in genere viene riportato così
x1 + x2
=
- p
(19)
x1 x2
=
q
(20)
In parole: Se l'equazione di secondo grado  x2 + p x + q = 0  possiede due soluzioni reali x1 e x2,  allora la loro somma è  - p, e il loro prodotto è q. Il teorema vale anche quando si ha un'unica soluzione (e cioè -p/2) e si pone x1 = x2 ( = -p/2).
       
 
     
 
       
 
      Esempio: L'equazione  x2 - 5 x + 6 = 0 che abbiamo già visto e risolto sopra possiede le soluzioni 2 e 3. La loro somma è 5 (cioè il negativo di  p = -5) e il loro prodotto è 6 (cioè q).

Alla base del teorema di Vieta sta il fatto che qualsiasi espressione del tipo  x2 + p x + q che diventi zero per almeno un numero reale  x può essere scritta come prodotto di fattori lineari (cioè di espressioni di forma a x + b, anche dette  polinomi di primo grado, mentre un'espressione del tipo x2 + p x + q, o più in generale del tipo a x2 + b x + c, si chiama polinomio di secondo grado).

       

Polinomi
 
 
     
Problema: Si scriva l'espressione x2 - 5 x + 6 come prodotto di fattori lineari!
Soluzione: Abbiamo visto sopra che l'equazione di secondo grado corrispondente possiede le soluzioni 2 e 3. Si ha quindi l'identità x2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ), che può essere verificata togliendo le parentesi.

Lo studio delle equazioni ci ha quindi fornito un metodo per scomporre alcune espressioni quadratiche in espressioni più elementari. I due fattori lineari hanno un ruolo simile a quello dei  fattori primi per i numeri naturali. 

       
fattori primi
 
 
     

Formula risolutiva generale 


Un'equazione di secondo grado può essere anche data in forma (4), cioè
a x2 + b x + c = 0,
(21)
Qui, come abbiamo osservato prima, deve valere a ¹ 0, e la relazione con la forma tipica è data da  p = b/a e q = c/a (che si ottiene dividendo entrambi i membri per a). La formula risolutiva generale corrispondente è
x1,2    =    
- b ±   ________
Ö b2 - 4 a c
 

2 a  
(22)

A seconda che il numero sotto radice b2 - 4 a c sia negativo, 0 oppure positivo, l'equazione non ammette soluzioni reali, ne ammette una oppure due. Ricaviamo la formula generale da quella ridotta ponendo p = b/a e q = c/a.

Il numero b2 - 4 a c  decide quindi il numero di soluzioni. Ha lo stesso ruolo che prima aveva il numero p2/4 - q e si chiama anche esso discriminante.
 

       
 
 
     
Altre equazioni
       
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Ci sono molte altre equazioni oltre a quelle lineari o di secondo grado:

Equazioni di terzo grado come:

2 x3 - 3 x2 + 5 x - 7 = 0
(23)

Equazioni fratte come:

x + 3
x + 6
= x - 1
x
(24)

Equazioni irrazionali come:

  ____
Öx + 1
 
  =   _____
Öx2 - 5
 
(25)

e molte altre ancora. 

       






 

 

 
      Tutte queste equazioni in linea di massima possono essere trattate con metodi simili a quelli che abbiamo visto prima (non sempre con successo, perché spesso le soluzioni - pur esistendo - non possono essere determinate con strumenti elementari). A volte però ci si trova di fronte a un problema che  dobbiamo ancora menzionare.


Insieme di definizione


       

Equazioni esponenziali e logaritmiche



 
 
      Può accadere che un'equazione non abbia senso per tutti gli elementi dell'insieme di base G. Ad esempio se nell'equazione fratta (24) prendiamo R come insieme di base, abbiamo un problema quando x = - 6 oppure x = 0. In entrambi i casi si tratterebbe di dividere per 0, un'operazione che non è definita! Per questi due valori di x non possiamo quindi nemmeno chiedere se la "tesi" rappresentata dall'equazione è vera o falsa, perché questa tesi non ha senso.

In questi casi perciò si escludono i valori problematici di G ottenendo un insieme (più piccolo) D che si chiama insieme di definizione. Solo gli elementi di questo insieme possono essere presi in considerazione come soluzioni (l'idea alla base dell'insieme di definizione è di eliminare i valori di x che in realtà non dovrebbero nemmeno essere contenuti nell'insieme di base. A volte però è difficile determinarli. Questo è il motivo della distinzione tra G e D). Il nome insieme di definizione deriva dal fatto che esso contiene solo quegli elementi dell'insieme di base per i quali entrambi i membri dell'equazione sono  definiti.

       


la divisione
per  zero non è definita
 
     

Nel caso dell'equazione fratta (24) con G = R si ha D = R \ {- 6, 0}, ovvero, D = {x Î R | x ¹ - 6 e x ¹ 0}. In generale per un'equazione fratta, i valori da escludere sono quelli per cui almeno un denominatore diventa zero (ciò naturalmente ci conduce a considerare una o più nuove equazioni del tipo denominatore = 0 ).

Un problema simile si pone per l'equazione irrazionale (25). Le due espressioni sotto radice devono essere  ³ 0 perché l'equazione abbia un senso. Se prendiamo G = R l'insieme di definizione è D = {x Î R | x + 1 ³ 0 e  x2 - 5 ³ 0}.


Metodi risolutivi


       

il simbolo \
(insieme differenza)
 
      Come si risolvono tali equazioni? Passiamo in rassegna i tre esempi (23) - (25):


Nel capitolo "Funzioni"  presenteremo un metodo di risoluzione grafico per equazioni di terzo grado come la (23).


Nel caso di un' equazione fratta  come la (24) possiamo eseguire delle trasformazioni equivalenti (vedi sopra). Possiamo moltiplicare entrambi i membri con x ( x + 6 ), cioè con il prodotto di tutti i denominatori, perché supponiamo che x appartenga all'insieme di definizione, e in questo caso sappiamo che x ¹ 0 e x + 6 ¹ 0. Infatti questo è proprio lo scopo dell'insieme di definizione! Ricordiamo che D = {x Î R | x ¹ - 6 e x ¹ 0}.
Otterremo quindi l'equazione x (x + 3 ) = ( x + 6 ) ( x - 1), che togliendo le parentesi diventa   x2 + 3 x = x 2 + 5 x - 6 . La possiamo risolvere eseguendo ulteriori trasformazioni equivalenti:
            x2 + 3 x = x 2 + 5 x - 6            |       - x2
                  3 x = 5 x - 6                     |       - 5 x
                - 2 x = - 6                          |       : (- 2)
                    x = 3
Visto che 3 Î D, abbiamo trovato la (unica) soluzione L = {3}.


Nel caso di un' equazione irrazionale come la (25) non ci resta altro da fare che eseguire una trasformazione che non è una trasformazione equivalente. Il rischio è di ottenere soluzioni apparenti che in realtà non sono soluzioni. Se eleviamo al quadrato entrambi i membri della  (25) (e ciò non è una trasformazione equivalente, si veda sopra), l'equazione si trasforma in  x + 1 = x2 - 5.
Quest'ultima è un'equazione di secondo grado che possiamo scrivere in forma  x2 - x - 6 = 0 e dalla quale ricaviamo grazie alla formula risolutiva le soluzioni x1,2 = 1/2 ± 5/2, quindi x1 = - 2 e x2 = 3.
Ma: questi due numeri non sono necessariamente soluzioni dell'equazione originaria, perché abbiamo eseguito un'operazione "illecita" e così facendo possiamo aver perso informazione. Infatti un piccolo calcolo ci mostra subito che  il numero -2 non appartiene nemmeno all'insieme di definizione, perché né x + 1 ³ 0 né x2 - 5 ³ 0 sono verificate per x = -2, e quindi se poniamo x = -2 nell'equazione data (25) otteniamo un enunciato privo di senso in cui compaiono radici di numeri negativi. Invece il numero 3 appartiene a D ( per x = 3 vale infatti sia x + 1 ³ 0 sia x2 - 5 ³ 0) e inserito nell'equazione (25) ci fornisce l'enunciato Ö4 = Ö4, ovvero 2 = 2. Il numero 3 è quindi l'unica soluzione dell'equazione. Abbiamo dunque L = {3} nonostante il fatto che durante i nostri i calcoli fossero apparse due "soluzioni".


Abbiamo visto dunque: Non appena eseguiamo operazioni che, pur trattando alla stessa maniera entrambi i membri di un'equazione, non sono reversibili (e perciò non sono trasformazioni equivalenti), dobbiamo considerare le "soluzioni" che troviamo solo come possibili candidati. A questo punto si procede per esclusione, inserendo i vari candidati nell'equazione e controllando se gli enunciati così ottenuti hanno un senso e, in caso positivo, se sono veri o falsi.



       


risoluzione grafica

zeri di un polinomio