Calcolo con le frazioni algebriche:

Il calcolo con le frazioni algebriche è soggetto alle stesse regole che il calcolo con le frazioni numeriche. Assumiamo sempre che in una frazione algebrica le variabili possano soltanto assumere valori per i quali il denominatore non diventa zero.

Le regole (identità) principali sono:

x
x
  =  1 ,                    a x
b x
= a
b
 ,
(1)

(semplificare)

a
b
  x
y
  =   a x
b y
 ,                  
a
b

x
y
  =   a y
b x
 ,
(2)
(moltiplicare, frazioni doppie)
a
c
 +  b
c
= a + b
c
(3)
(addizione di frazioni con lo stesso denominatore) e
a
b
 +  x
y
  =   a y + b x
b y
 .
(4)
L'ultima è la regola generale per l'addizione di frazioni che si usa in particolare quando i denominatori sono distinti e non sussiste una relazione evidente fra di loro.

Ciascuna di queste variabili può essere sostituita da un numero (con l'unica restrizione che il denominatore non diventi zero), ma anche da un'espressione. Ad esempio l'espressione

3 + u
u2 - 1
 +   u2 + 5
u
(5)
ha la stessa struttura della (4), dove a è sostituito da 3 + ub è sostituito da u2 - 1,  x è sostituito da u2 + 5 e infine y è sostituito da u. Si ha quindi
(3 + u) u + (u2 - 1) (u2 + 5)
(u2 - 1) u
(6)
e togliendo le parentesi nel numeratore,
u4 + 5 u2 + 3 u - 5
(u2 - 1) u
 .
(7)
 

Per il calcolo con le frazioni algebriche possiamo utilizzare il concetto di divisore comune come per i numeri interi. Un divisore comune di due espressioni è un fattore  che esse hanno in comune. Le due espressioni  a2 x4 (a + x)2 e a x6 (a + x)  ad esempio hanno diversi divisori comuni: a, x, x4 e a + x. L'espressione a x4 (a + x) è il "massimo comun divisore" delle due espressioni.

Guardiamo un esempio istruttivo. A volte infatti può essere più conveniente non utilizzare la regola (4). I due denominatori dell'espressione

x2 + 1
x (x + 1)2
 + x - 1
x (x + 1)
(8)
hanno  x + 1 come divisore comune. Come nel calcolo con le frazioni numeriche, anche qui il denominatore comune può essere scelto come prodotto dei due denominatori (come prevede la regola (4) ), oppure "in versione ridotta" come x (x + 1)2. Questa trasformazione più "economica" ci fornisce
x2 + 1
x (x + 1)2
 + (x + 1) (x - 1)
x (x + 1)2
(9)
che si semplifica a
x2 + 1 + (x + 1) ( x - 1)
x (x + 1)2
(10)
ed - eseguendo la moltiplicazione nel numeratore - diventa
2 x2
x (x + 1)2
(11)
e infine può essere semplificata così
2 x
(x + 1)2
 .
(12)
Si provi ad inserire x = 2 in (8) e (12) ! Applicando la regola (4) avremmo ottenuto lo stesso risultato, ma dopo un calcolo notevolmente più lungo (si faccia l'esperimento!). Ne deduciamo che un esame consapevole della struttura di espressioni ci può risparmiare tanti calcoli!

Anche per la semplificazione di frazioni algebriche possiamo usare il concetto di divisore comune. Ad esempio l'ultimo passo del calcolo precedente, quindi

2 x2
x (x + 1)2
  =   2 x
(x + 1)2
 ,
(13)
è possibile perché x è un divisore comune delle due espressioni 2 x2 e x (x + 1)2 .

Purtroppo non sempre è facile trovare divisori comuni. Ad esempio a prima vista non sembra che la frazione

x2 - 4
(x + 2)2
(14)
possa essere semplificata ulteriormente. Invece il numeratore può essere scritto come prodotto,
x2 - 4   =  (x + 2) (x - 2),
(15)
per cui scopriamo che x + 2 è un divisore comune di numeratore e denominatore e possiamo semplificare la frazione (14) così
x - 2
x + 2
 .
(16)
Vediamo che il problema di trovare divisori comuni è legato alla fattorizzazione di espressioni. Con un po' di esperienza si imparano a riconoscere situazioni semplici di questo genere - quelle più complesse possono creare grandi problemi anche agli specialisti.