Perché "l'insieme di tutti gli insiemi" è un concetto contraddittorio :
 

Proviamo ad assumere che ''l'insieme di tutti gli insiemi '' sia una costruzione sensata e chiamiamolo M. Formalmente avremmo

M = { A | A è un insieme }.
(1)
Se M (secondo la nostra ipotesi) è davvero un insieme, allora deve contenere se stesso come elemento: M Î M.

Quindi esisterebbero insiemi che contengono se stessi come elemento.

Sicuramente esistono anche insiemi che non hanno questa proprietà (per esempio gli insiemi che abbiamo visto in questo capitolo, come A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }). Formiamo la collezione di questi insiemi, chiamando  S  l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elemento:

S = { A | A è un insieme e A Ï A }.
(2)
Se tutti questi concetti hanno un senso, allora S è un sottoinsieme di M. Adesso chiediamoci se S contiene se stesso come elemento oppure no. Formalmente ci stiamo chiedendo se vale S Î S oppure S Ï S.

Ecco la sorpresa:

Se supponiamo S Î S, allora S contiene se stesso come elemento e quindi non appartiene ad S  (poiché per definizione un insieme appartiene ad S soltanto se non contiene se stesso come elemento). Quindi S Ï S - una contraddizione. Concludiamo che l'ipotesi deve essere errata.

Se supponiamo S Ï S, allora S non contiene se stesso come elemento e allora sì che appartiene ad S  (poiché per definizione un insieme appartiene ad S  se non contiene se stesso come elemento). Quindi S Î S - un'altra contraddizione. Concludiamo che anche questa ipotesi deve essere errata!

La nostra domanda ci conduce quindi a una contraddizione logica, la cosiddetta Antinomia di Russell. Evidentemente essa deriva dal fatto che una visone troppo superficiale del concetto di insieme ci permette di formare insiemi che contengono se stessi come elemento. (Occorre precisare però che nell'uso degli insiemi nella matematica del liceo ciò non avviene mai. Le nostre considerazioni riguardano i fondamenti logici della matematica - hanno quindi un aspetto filosofico - ma non toccano la matematica del liceo né le applicazioni pratiche).

La struttura logica della contraddizione viene spesso riportata così: Il barbiere di un paese fa la barba a tutti quegli uomini del paese che non si fanno la barba da soli. Domanda: si fa la barba da solo?

Se supponiamo che si fa la barba da solo, allora non si fa la barba (poiché abbiamo detto che fa la barba a coloro che non si fanno la barba da soli)  - una contraddizione. Concludiamo che l'ipotesi deve essere errata.

Se supponiamo che non si fa la barba da solo, allora sì che si fa la barba (poiché abbiamo detto che fa la barba a coloro che non si fanno la barba da soli) - un'altra contraddizione. Concludiamo che anche questa ipotesi deve essere errata!