Insiemi

Riassunto:
Un insieme Ŕ una collezione di oggetti ben definiti. Questi oggetti si chiamano elementi.  Solo approfondendo lo studio si nota che gli insiemi con un numero infinito di elementi hanno proprietÓ sorprendenti e che il concetto di insieme porta a complicazioni inaspettate.

Parole chiave:
Gli insiemi e la loro descrizione | elemento | teoria degli insiemi | ''per i quali vale'' | insieme infinito | insieme finito | sottoinsieme | sottoinsieme proprio | include | intersezione | unione | insieme differenza | complicazioni inaspettate (problemi della teoria degli insiemi) | ''l'insieme di tutti gli insiemi'' | teoria elementare degli insiemi | antinomie | teoria assiomatica degli insiemi | assiomi | rassegna dei simboli
 
                                                                                                                                                                                                                                                  
     
Gli insiemi e la loro descrizione
          
      Un insieme Ŕ una collezione di oggetti ben definiti. Tali oggetti si chiamano elementi dell'insieme. L'area della matematica che studia le conseguenze di questa semplice idea sin chiama teoria degli insiemi.

Gli elementi degli insiemi in genere sono oggetti matematici, ad esempio numeri.

Consideriamo per esempio l'insieme che consiste dei numeri 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Si indica con parentesi graffe come

{ 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
(1)
L'ordine in cui sono scritti gli elementi non ha nessuna importanza. Perci˛ l'insieme
{ 4, 7, 2, 5, 6, 3 }
(2)
coincide con (1). Se vogliamo dargli un nome, ad esempio A, scriviamo
A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }.
(3)
Il fatto che il numero 3 Ŕ un elemento di questo insieme si indica con
3 A
(4)
 ( ''3 Ŕ elemento di A'', oppure ''3 appartiene ad A''). A volte si scrive anche A ' 3. Il numero 9 non Ŕ elemento del nostro insieme, e ci˛ si indica con
9 ¤ A
(5)

C'Ŕ un'altra notazione che si usa per formare (cioŔ definire) un insieme. Invece di elencare i suoi elementi, si pu˛ definire l'insieme come

    A = { n | n Ŕ un numero intero
                maggore di 1 e minore di 8}
(6)

       
numeri interi

 
 
      Troveremo spesso questa forma. Le sue parti si leggono cosý:

A = "A Ŕ
{ n l'inisieme di tutti gli n
| per i quali vale
n Ŕ un numero intero
                maggore di 1 e minore di 8 }
"n Ŕ un numero intero che Ŕ
                maggore di 1 e minore di 8."
       
Nell' Applet
Definizioni
di insiemi

si trovano altri esempi
 
     
Si tratta quindi di una serie di simboli ed enunciati che possono essere tradotti direttamente nel linguaggio comune e che ci dicono   quali oggetti comprende l'insieme A. La chiave per la traduzione in forma linguistica Ŕ la riga verticale | , che va letta come  ''per i quali vale''. Dopo questo simbolo sono elencate le proprietÓ che caratterizzano l'insieme. Si noti che non Ŕ importante quale simbolo si usa dopo la parentesi graffa. Invece di n potremmo usare un qualsiasi altro simbolo, per esempio x:
    { x | x  Ŕ un numero intero
                maggore di 1 e minore di 8} },
(7)
quindi "l'insieme di tutti gli x, per i quali vale: x Ŕ un numero intero che Ŕ maggore di 1 e minore di 8" Ŕ ancora il nostro insieme A.

Tale possibilitÓ di descrivere un insieme Ŕ particolarmente utile quando Ŕ complicato o addirittura impossibile elencare gli elementi, come ad esempio per l'insieme

N = { n | n Ŕ un numero intero positivo },
(8)
di tutti i numeri positivi interi - che ha un numero infinito di elementi. Potremmo anche scrivere questo insieme come
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... }
(9)
dove i puntini stanno a indicare "tutti i rimanenti elementi". (I numeri interi positivi si chiamano anche numeri naturali e sono oggetti matematici  importanti che incontreremo spesso).
       
numeri naturali
 
 
     
Per l'insieme
    X = { n | n Ŕ un numero intero positivo,
                    per il quale la somma delle cifre Ŕ 3 oppure 7 }
(10)
per˛ un tale elenco sarebbe talmente complicato che il vantaggio della descrizione per mezzo di proprietÓ Ŕ evidente.

Gli insiemi N ed X contengono un numero infinito di elementi. Tali insiemi si dicono insiemi infiniti. Un insieme finito Ŕ invece un insieme che contiene solo un numero finito di elementi .

Per semplificare la notazione un insieme pu˛ anche essere indicato in modo seguente::

B = { x A | x Ŕ un numero pari }.
(11)
Si legge ''B Ŕ l'insieme di tutti gli x A, per i quali vale: x Ŕ un numero pari'. B consiste di tutti gli elementi di A che sono numeri pari. Se passiamo in rassegna gli elementi dell'insieme A definito sopra, vediamo che solo 2, 4 e 6 sono numeri pari. Perci˛ l'insieme B contiene esattamente questi tre elementi:
B = { 2, 4, 6 }.
(12)

 Per dare altri esempi, scriviamo l'insieme dei numeri naturali dispari  come

U = { x N | x Ŕ un numero naturale dispari }
(13)
e definiamo un insieme
C = { 5, 6, 7, 8, 9 }.
(14)

Nei prossimi paragrafi utilizzeremo i sei insiemi  A, B, C, N, U ed X per illustrare relazioni e operazioni fra insiemi.


       
 
 
     
Sottoinsiemi
       
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Abbiamo visto alcuni esempi di insiemi e possiamo osservare adesso che fra insiemi possono valere determinate relazioni. Ad esempio tutti gli elementi di  A sono anche elementi di N. L'insieme N Ŕ pi¨ ampio (potremmo dire ''pi¨ grande'') dell'insieme A. L'espressione matematica di questo fatto Ŕ: A Ŕ sottoinsieme di (oppure Ŕ incluso in) N, e N include A. Ci˛ si indica con
A N            ovvero              N A
(15)

La relazione A N sta ad indicare che ogni elemento di A Ŕ anche elemento di N. Formalmente possiamo scrivere

" x A implica x N "
(16)
o anche pi¨ brevemente
x A   Ů  x N
(17)
Ne segue fra l'altro come caso particolare che ogni insieme Ŕ sottoinsieme di se stesso: A A, perchÚ '' x A implica (ovviamente) x A''.

Un altro esempio Ŕ B A, perchÚ l'insieme B definito sopra consiste per definizione degli elementi di A che soddisfano una determinata proprietÓ (e cioŔ essere numeri pari). Le due relazioni B A e A N possono essere riassunte in forma B A N .

Quando un insieme Ŕ sottoinsieme di un altro e i due insiemi sono distinti, si parla di un sottoinsieme proprio. Ad esempio A Ŕ un sottoinsieme proprio di N, poichÚ A N. (Infatti esiste - almeno - un elemento di  N, che non Ŕ elemento di A).

Invece di e si usano a volte anche i simboli e .
Attenzione: I simboli e vengono spesso usati per sottoinsiemi o inclusioni propri. Purtroppo non c'Ŕ un uso omogeneo di questi simboli.
 

       
 
 
     
Intersezione e unione
       
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Due (o pi¨) insiemi possono avere elementi in comune. L'insieme di tutti questi elementi comuni si chiama insieme intersezione (anche intersezione) e si indica con il simbolo ă . Formiamo ad esempio l'intersezione dei due insiemi A (vedi sopra) ed U (vedi sopra). La definizione formale Ŕ
A ă U = { x | x A ed x U }.
(18)
Quali numeri appartengono all'insieme A (sono cioŔ numeri interi maggiori di 1 e minori di 8) e sono dispari? Si tratta esattamente dei numeri 3, 5 e 7. Perci˛
A ă U = { 3, 5, 7 }.
(19)

Un esempio per l'intersezione di tre insiemi Ŕ

A ă U ă X = { x | x A ed x U ed x X }.
(20)
Ciascun elemento di questo insieme deve quindi possedere simultaneamente tre proprietÓ: E' elemento di A (cioŔ Ŕ  maggiore di 1 e minore di 8), Ŕ dispari e  la somma delle sue cifre Ŕ 3 oppure 7. Ci˛ si verifica solo per i numeri 3 e 7 , dunque
A ă U ă X = { 3, 7 }
(21)
.

A volte pu˛ essere necessario riunire gli elementi di due (o pi¨) insiemi in un nuovo insieme pi¨ ampio. Questo insieme si chiama  insieme unione (anche unione) e si indica con il simbolo . Formiamo ad esempio l'unione dei due insiemi A (vedi sopra) e C (vedi sopra). La definizione formale Ŕ

A  C = { x | x A oppure x U }.
(22)
Quali numeri appartengono all'insieme A oppure all'insieme C ? Guardando le definizione dei due insiemi vediamo che
A  C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }.
(23)

Un esempio per l'unione di tre insiemi Ŕ

A  C  U = { x | x A oppure x C oppure x U }.
(24)
Questo insieme consiste di tutti i numeri che appartengono ad almeno uno dei tre insiemi A, C oppure U.    
Esso possiede un numero infinito di elementi:  i numeri dispari e inoltre i numeri pari 2, 4, 6, e 8.

Un'illustrazione grafica (diagrammi di Venn) dei concetti di intersezione ed unione si trova cliccando qui a fianco a destra.

       
Illustrazione grafica
 
     
L'insieme differenza
       
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A volte si vogliono escludere degli elementi da un insieme. Consideriamo gli insiemi A (vedi sopra) e B (vedi sopra). Ricordiamo che per questi insiemi vale la relazione B A. Tutti gli elementi di B sono anche elementi di  A. Se togliamo questi elementi dall'insieme A otteniamo l'insieme
    AB = { x A | x  non Ŕ elemento di B }
             = { x A | x ¤ B }.
(25)
Si chiama insieme differenza (anche insieme complementare di B rispetto ad A). Guardando le definizioni degli insiemi A e B vediamo che
AB = { 3, 5, 7 }.
(26)

Come ulteriore esempio osserviamo che N \U Ŕ l'insieme dei numeri naturali pari (perchŔ abbiamo tolto i numeri dispari - gli elementi di U - dall'insieme N ).

Un'illustrazione grafica (diagramma di Venn) del concetto di differenza si trova cliccando qui a fianco a destra.

       
Illustrazione grafica
 
     
Complicazioni inaspettate
       
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Il concetto di insieme come "collezione di oggetti ben definiti" Ŕ convincente e inizialmente non sembra essere problematico. Pu˛ sorprendere quindi il fatto che in questo contesto sorgano problemi fondamentali. 

Se un insieme Ŕ una "collezione di oggetti ben definiti", esso stesso Ŕ un oggetto ben definito. Possiamo quindi formare la collezione di tutti questi oggetti, cioŔ l'insieme di tutti gli insiemi ? La risposta Ŕ no! L'insieme di tutti gli insiemi Ŕ un concetto contraddittorio e quindi privo di senso. Cliccando qui a fianco a destra troverete una spiegazione insieme a un paradosso famoso.

       
Spiegazione
 
 
      L'approccio agli insiemi presentato in questo capitolo si chiama oggi ''teoria elementare degli insiemi'' ed Ŕ stato sviluppato nella seconda metÓ dell'ottocento (soprattutto da Georg Cantor).

Come abbiamo appena visto, questo approccio pu˛ condurre ad alcune contraddizioni (antinomie). Tale scoperta all'inizio del novecento  ha portato (a partire dall'opera di Ernst Zermelo) a un ripensamento dei fondamenti della matematica. Con la ''teoria assiomatica degli insiemi'' si cerca di dedurre formalmente le regole per l'uso degli insiemi da un numero possibilmente piccolo di ipotesi di base (assiomi), in maniera tale che non possano comparire oggetti come "l'insieme di tutti gli insiemi". Il sistema di assiomi di base per˛ non Ŕ univoco, per cui in realtÓ si dovrebbe parlare di tante possibili "matematiche". Le conseguenze ulteriori di questa situazione (soprattutto la scoperta da parte di Kurt G÷del del fatto che ciascuna di queste "matematiche" Ŕ incompleta in un senso fondamentale) hanno messo considerevolmente in crisi l'idea dell'universalitÓ della matematica.

          
      Da un punto di vista pratico possiamo per˛ continuare a lavorare con la teoria elementare degli insiemi, evitando costruzioni problematiche come "l'insieme di tutti gli insiemi" (oppure insiemi che contengono se stessi come elemento).
 
 
       
 
 
     
Rassegna dei simboli
       
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       Ŕ elemento di    vedi sopra   
| per i quali vale vedi sopra
ă intersezione vedi sopra
unione vedi sopra
Ŕ sottoinsieme di vedi sopra
   include     vedi sopra
\ insieme differenza vedi sopra