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Gli insiemi e la loro descrizione |
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Un insieme è una collezione di oggetti ben definiti. Tali oggetti si
chiamano elementi dell'insieme. L'area della matematica che studia le
conseguenze di questa semplice idea sin chiama teoria degli insiemi.
Gli elementi degli insiemi in genere sono oggetti matematici, ad esempio numeri.
Consideriamo per esempio l'insieme che consiste dei numeri 2, 3, 4, 5, 6
e 7. Si indica con parentesi graffe come
L'ordine in cui sono scritti gli elementi non ha nessuna importanza. Perciò
l'insieme
coincide con (1). Se vogliamo dargli un nome, ad
esempio A, scriviamo
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A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }. |
| (3) |
Il fatto che il numero 3 è un elemento di questo insieme si indica con
( ''3 è elemento di A'', oppure
''3 appartiene ad A'').
A volte si scrive anche A ' 3. Il numero 9 non è elemento del nostro insieme, e ciò si indica con
C'è un'altra notazione che si usa per formare (cioè definire) un insieme. Invece
di elencare i suoi elementi, si può definire l'insieme A
come
A = { n | n è un numero intero
maggore
di 1 e minore di 8} |
| (6) |
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numeri interi
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Troveremo spesso questa forma. Le sue parti si leggono così:
| A = |
"A
è |
| { n |
l'inisieme di tutti gli n |
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per i quali vale |
n è un numero intero
maggore
di 1 e minore di 8 } |
"n è un numero intero
che è
maggore
di 1 e minore di 8." |
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Nell' Applet
Definizioni
di insiemi
si trovano altri esempi
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Si tratta quindi di una serie di simboli ed enunciati che possono essere
tradotti direttamente nel linguaggio comune e che ci dicono quali
oggetti comprende l'insieme A. La
chiave per la traduzione in forma linguistica è la riga verticale | , che va letta come ''per i quali vale''. Dopo questo
simbolo sono elencate le proprietà che caratterizzano l'insieme.
Si noti che non è importante quale simbolo si usa dopo la parentesi graffa.
Invece di n potremmo usare un
qualsiasi altro simbolo, per esempio x:
{ x | x è un numero intero
maggore
di 1 e minore di 8} }, |
| (7) |
quindi "l'insieme di tutti gli x, per
i quali vale: x è un numero intero
che è maggore
di 1 e minore di 8" è ancora il nostro insieme A.
Tale possibilità di descrivere un insieme è particolarmente utile quando è
complicato o addirittura impossibile elencare gli elementi, come ad esempio per
l'insieme
|
N = { n | n è un numero intero positivo }, |
| (8) |
di tutti i numeri positivi interi - che ha un numero infinito di elementi.
Potremmo anche scrivere questo insieme come
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N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... } |
| (9) |
dove i puntini stanno a indicare "tutti i rimanenti elementi".
(I numeri interi positivi si chiamano anche numeri naturali e sono
oggetti matematici importanti che incontreremo spesso).
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numeri naturali
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Per l'insieme
X = { n | n è un numero intero positivo,
per il quale la somma delle cifre è 3 oppure 7 } |
| (10) |
però
un tale elenco sarebbe talmente complicato che il vantaggio della descrizione
per mezzo di proprietà è
evidente.
Gli insiemi N ed X
contengono un numero infinito di elementi. Tali insiemi si dicono
insiemi infiniti. Un insieme finito è invece un insieme che
contiene solo un numero finito di elementi
.
Per semplificare la notazione un insieme può anche essere indicato in modo
seguente::
|
B = { x Î A | x è un numero pari }. |
| (11) |
Si legge ''B è l'insieme di tutti gli x Î A, per i quali vale: x
è un numero pari'.
B consiste di tutti gli elementi di A
che sono numeri pari. Se passiamo in rassegna gli elementi dell'insieme A
definito sopra, vediamo che solo 2, 4 e 6 sono numeri pari.
Perciò l'insieme B contiene
esattamente questi tre elementi:
Per dare altri esempi, scriviamo l'insieme dei numeri naturali dispari
come
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U = { x Î N | x è un numero naturale dispari } |
| (13) |
e definiamo un insieme
Nei prossimi paragrafi utilizzeremo i sei insiemi A, B, C, N, U
ed X per illustrare relazioni e
operazioni fra insiemi.
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Abbiamo visto alcuni esempi di insiemi e possiamo osservare adesso che fra
insiemi possono valere determinate relazioni. Ad esempio tutti gli elementi di A
sono anche elementi di N. L'insieme N
è più ampio (potremmo dire ''più grande'') dell'insieme A.
L'espressione matematica di questo fatto è: A
è sottoinsieme di (oppure è incluso in) N,
e N include A.
Ciò si indica con
La relazione A Í N sta ad indicare che ogni elemento
di A è anche elemento di N.
Formalmente possiamo scrivere
o anche più brevemente
Ne segue fra l'altro come caso particolare che ogni insieme è sottoinsieme di se
stesso: A Í A, perché ''
x Î A implica (ovviamente) x Î A''.
Un altro esempio è B Í A, perché l'insieme B
definito sopra consiste per
definizione degli elementi di A
che soddisfano una determinata proprietà (e
cioè essere numeri pari).
Le due relazioni B Í A e A Í N possono essere riassunte in forma B Í A Í N
.
Quando un insieme è sottoinsieme di un altro e i due insiemi sono distinti, si
parla di un sottoinsieme proprio. Ad esempio
A è un sottoinsieme proprio di
N, poiché
A ¹
N. (Infatti esiste - almeno -
un elemento di
N, che non è elemento di
A).
Invece di Í e Ê si usano a
volte anche i simboli Ì e É.
Attenzione: I simboli Ì e É
vengono spesso usati per sottoinsiemi o inclusioni propri. Purtroppo non c'è un
uso omogeneo di questi simboli.
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Due (o più) insiemi possono avere elementi in comune. L'insieme di tutti questi
elementi comuni si chiama insieme intersezione (anche
intersezione) e si indica con il simbolo Ç . Formiamo ad esempio l'intersezione dei due insiemi
A (vedi sopra) ed U (vedi
sopra).
La definizione formale è
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A Ç U = { x | x Î A ed x Î U }. |
| (18) |
Quali numeri appartengono all'insieme A (sono
cioè numeri interi maggiori di 1 e minori di 8)
e sono dispari? Si tratta esattamente dei numeri 3, 5 e 7. Perciò
Un esempio per l'intersezione di tre insiemi è
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A Ç U Ç X = { x | x Î A ed x Î U ed x Î X }. |
| (20) |
Ciascun elemento di questo insieme deve quindi possedere simultaneamente tre
proprietà: E' elemento di A (cioè è
maggiore di 1 e minore di 8), è dispari e la
somma delle sue cifre è 3 oppure 7. Ciò si verifica solo per i numeri 3 e
7 , dunque
.
A volte può essere necessario riunire gli elementi di due (o più) insiemi in un
nuovo insieme più ampio. Questo insieme si chiama insieme unione
(anche unione) e si indica con il simbolo È .
Formiamo ad esempio l'unione dei due insiemi
A (vedi sopra) e
C (vedi sopra).
La definizione formale è
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A È C = { x | x Î A oppure x Î U }. |
| (22) |
Quali numeri appartengono all'insieme A
oppure all'insieme C ? Guardando le
definizione dei due insiemi vediamo che
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A È C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }. |
| (23) |
Un esempio per l'unione di tre insiemi è
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A È C È U = { x | x Î A oppure x Î C oppure x Î U }. |
| (24) |
Questo insieme consiste di tutti i numeri che appartengono ad almeno uno dei tre
insiemi
A, C
oppure U. Esso
possiede un numero infinito di elementi:
i numeri dispari e inoltre i numeri pari 2, 4, 6, e 8.
Un'illustrazione grafica (diagrammi di Venn) dei concetti di intersezione ed unione si trova cliccando qui a fianco a destra.
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A volte si vogliono
escludere degli elementi da un insieme. Consideriamo gli insiemi
A (vedi sopra) e
B (vedi sopra).
Ricordiamo che per questi insiemi vale la relazione B Í A. Tutti gli elementi di B
sono anche elementi di A. Se
togliamo questi elementi dall'insieme A
otteniamo l'insieme
A \ B = { x Î A | x non è elemento di B }
= { x Î A | x Ï B }. |
| (25) |
Si chiama insieme differenza (anche insieme complementare di B
rispetto ad A).
Guardando le definizioni degli insiemi A e B
vediamo che
Come ulteriore esempio osserviamo che
N \U
è l'insieme dei numeri naturali pari (perchè abbiamo tolto i numeri dispari -
gli elementi
di U - dall'insieme N ).
Un'illustrazione grafica (diagramma di Venn) del concetto di differenza si trova cliccando qui a fianco a destra.
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Complicazioni inaspettate
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Il concetto di insieme come "collezione di oggetti ben definiti" è convincente e
inizialmente non sembra essere problematico. Può sorprendere quindi il fatto che
in questo contesto sorgano problemi fondamentali.
Se un insieme è una "collezione di oggetti ben definiti", esso stesso è un
oggetto ben definito. Possiamo quindi formare la collezione di tutti questi
oggetti, cioè l'insieme di tutti gli insiemi ? La risposta è no!
L'insieme di tutti gli insiemi è un concetto contraddittorio e quindi privo di
senso. Cliccando qui a fianco a destra troverete una spiegazione insieme a un
paradosso famoso.
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L'approccio agli insiemi presentato in questo capitolo si chiama oggi
''teoria elementare degli insiemi'' ed è stato sviluppato
nella seconda metà dell'ottocento (soprattutto da Georg Cantor).
Come abbiamo appena visto, questo approccio può condurre ad alcune
contraddizioni (antinomie).
Tale scoperta all'inizio del novecento
ha portato
(a partire dall'opera di Ernst Zermelo) a un ripensamento dei fondamenti della
matematica. Con la ''teoria assiomatica degli insiemi'' si cerca di
dedurre formalmente le regole per l'uso degli insiemi da un numero possibilmente
piccolo di ipotesi di base (assiomi), in maniera tale che non possano
comparire oggetti come "l'insieme di tutti gli insiemi". Il sistema di assiomi
di base però non è univoco, per cui in realtà si dovrebbe parlare di tante
possibili "matematiche". Le conseguenze ulteriori di questa situazione
(soprattutto la scoperta da parte di Kurt Gödel del fatto che ciascuna di queste
"matematiche" è incompleta in un senso fondamentale)
hanno messo considerevolmente in crisi l'idea dell'universalità della
matematica. | |
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Da un punto di vista pratico possiamo però continuare a lavorare con la teoria
elementare
degli insiemi, evitando costruzioni problematiche come "l'insieme di
tutti gli insiemi" (oppure insiemi che contengono se stessi come elemento).
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