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In questo capitolo hanno un ruolo fondamentale le potenze i cui esponenti sono numeri reali arbitrari. Vogliamo dunque innanzitutto discutere che cosa intendiamo quando parliamo di tali potenze. Una potenza è un'espressione di forma ax in cui a è detta base e x esponente. Usiamo il carattere x per indicare l' esponente, visto che in questo capitolo ci interessa studiare come una potenza dipende dal suo esponente. Abbiamo già visto prima come definire una potenza con base positiva (a > 0) e esponente razionale x, e ci ricordiamo la regola (identità) |
razionali |
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che vale per tutti i numeri razionali x, y. L'abbiamo già usata prima come guida preziosa e continuerà ad avere un ruolo fondamentale. Vogliamo chiederci adesso se è possibile definire una potenza anche quando l'esponente è un numero reale arbitrario (quindi anche per esponenti irrazionali che non possono essere scritti come quoziente di due numeri interi, come ad esempio Ö2 o p). Ha un senso formare la potenza 2p? Vedremo tra breve che ciò è veramente possibile. A tal fine adopereremo il fatto che ciascun numero irrazionale può essere approssimato da numeri razionali con precisione arbitrariamente grande. Se come esponente vogliamo scegliere ad esempio p, consideriamo la successione di numeri e ad ogni passo successivo aggiungiamo la cifra successiva nella rappresentazione decimale di p. Questi numeri si avvicinano sempre più a p (più precisamente: si avvicinano a piacere a p), e sono tutti razionali (ad esempio 3.14 = 314/100 è quoziente di due numeri interi), quindi possono essere scelti come esponenti di una potenza. Consideriamo adesso le potenze che possiamo formare con questi numeri: Per spiegare con un esempio che cosa avviene, poniamo a = 2 e guardiamo le rappresentazioni decimali delle prime sei potenze:
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Vediamo che i numeri nella colonna di destra variano sempre meno. Essi tendono a un certo numero reale, questo numero si indica con
2p. La sua rappresentazione decimale inizia così 8.824977827...
e in linguaggio matematico si chiama "limite" della successione numerica riportata nella colonna di destra.
Lo stesso metodo può essere usato anche per altre basi
(positive) a e per altri
esponenti (irrazionali) x. Poiché la regola (1) vale per gli esponenti razionali con i quali
approssimiamo a piacere gli esponenti
irrazionali, concludiamo che essa vale anche per questi ultimi. |
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La nostra argomentazione non
è rigorosa dal punto di vista matematico, ma per il momento ci accontentiamo.
Alcune osservazioni sulle basi teoriche di questo procedimento si trovano cliccando qui a fianco a destra.
Forse la nostra costruzione può sembrare un po' complicata. Il suo scopo non è il calcolo
pratico - ciò sarà come sempre delegato al calcolatore elettronico .
Scopo della nostra discussione era accertare (teoricamente) che il concetto di potenza
con esponenti reali arbitrari ha un senso. Riassumiamo:
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Per questo concetto più generale di potenza valgono - oltre alla (1) - anche le altre regole che abbiamo già visto per esponenti razionali. Le più importanti possono essere riviste cliccando qui a fianco a destra. |
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Visto che adesso possiamo usare qualsiasi numero reale come esponente, possiamo chiederci come la potenza di una data base (positiva) a dipende dal suo esponente. In altre parole, possiamo assegnare
Ciò definisce una funzione sull'insieme dei numeri reali. Tale funzione si chiama funzione esponenziale. Anche per funzioni più generali del tipo |
Funzioni |
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dove b e c sono numeri costanti, si usa lo stesso nome. Le funzioni esponenziali hanno un ruolo fondamentale in matematica e in molte applicazioni. Servono a comprendere i sistemi dinamici, siano essi di natura fisica, chimica, biologica o economica. Vedremo sotto come vengono impiegate per modellare processi di crescita o di decadimento. Ma le ritroviamo anche in molti altri contesti, a partire dalla teoria delle probabilità fino alla fisica quantistica. La teoria delle equazioni differenziali non sarebbe concepibile senza le funzioni esponenziali e la loro generalizzazione all'ambito dei numeri complessi mostra una relazione profonda con la trigonometria e i processi oscillatori, le cui applicazioni giungono fino alla tecnica delle correnti alternate. La vasta applicabilità delle funzioni esponenziali deriva dalla semplicità dell'idea che ne sta alla base. Riguardiamo per un attimo la loro "genesi": |
Trigonometria |
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Per acquisire un po' di confidenza con la funzione esponenziale si consiglia di usare il Plotter di funzioni e studiare i grafici di 2x, 3x, 10x, (1/2)x, (1/3)x, 2-x e 3-x (da inserire con la notazione 2^x, 3^x, 10^x, (1/2)^x, (1/3)^x, 2^(-x) e 3^(-x)). Più avanti discuteremo le principali proprietà della funzione esponenziale. |
potenze |
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Illustreremo adesso il ruolo delle funzioni esponenziali nei modelli matematici che descrivono processi di crescita. Consideriamo una colonia di batteri. Assumiamo che la sua crescita (determinata da divisioni di cellule) sia caratterizzata dalle seguenti tre proprietà:
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Questa è un formula estremamente comoda. Se vogliamo determinare la grandezza della colonia dopo 24 ore, invece di raddoppiare il numero per 24 volte, basterà calcolare il numero 1000 × 224. Otterremo 16777216000, cioè (arrotondando) 16.8 miliardi di batteri, un numero enorme. Adesso capiamo anche la ragione per il nome "esponenziale": La variabile del tempo t (il numero di ore trascorse) compare come esponente nella formula (4). Quando aumenta t il valore 2t cresce esponenzialmente e raggiunge presto valori enormi. In questo capitolo troveremo spesso calcoli simili. Per poterli svolgere agevolmente, mettiamo qui a disposizione un calcolatore di crescita: Dati tre numeri a, b e c verrà calcolato a × bc. Per il calcolo di cui sopra inserire 1000 nella prima casella, 2 nella seconda e 24 nella terza casella (elevata) e cliccare sul segno di uguale! (Qualsiasi altro calcolatore elettronico può servire allo stesso scopo naturalmente). La nostra formula (4) può dare l'impressione di aver già trovato un modello matematico che descrive la crescita della colonia di batteri in maniera soddisfacente.  Nel diagramma qui a fianco a destra vediamo che cosa ci fornisce:
Il numero di batteri in un determinato momento è riportato verticalmente sopra
il punto corrispondente nell'asse del tempo. Quando inseriamo successivamente t = 1, t = 2, t = 3 ecc.
la nostra formula (4) ci fornisce i punti gialli:
il numero di batteri presenti ad ogni ora intera. Ma poniamoci una domanda innocente, e come spesso in matematica, con una piccola domanda
mettiamo in movimento grandi cose: Quanti batteri ci sono dopo mezz'ora?
Dove si trova esattamente il punto nel nostro
diagramma che corrisponde a
1/2 sull'asse del tempo?Per rispondere a questa domanda, ci serve la proprietà (1) del nostro sistema: "In intervalli temporali di uguale lunghezza il numero di batteri aumenta di uguale fattore". Questo risolve il problema: Dopo mezz'ora i batteri saranno aumentati di un fattore che per adesso non conosciamo e che indichiamo con q. Dopo 1/2 ora dall'inizio ci sono dunque 1000 q batteri. Nella mezz'ora successiva si riproducono - secondo la proprietà (1) - nuovamente con il fattore di crescita q, quindi adesso avremo 1000 q2 batteri. D'altra parte sappiamo però che in totale è trascorsa 1 ora, per cui per la proprietà (3) il numero dei batteri deve essere raddoppiato. Deduciamo che q2 = 2, da cui segue q = Ö2 = 1.414213562... La risposta alla nostra domanda è dunque che dopo mezz'ora ci sono (circa) 1414 batteri. Il numero esatto, previsto dal nostro modello, è 1000 Ö2. Osserviamo adesso che ciò può anche essere scritto come 1000 × 21/2, in quanto 21/2 è proprio la radice quadrata di 2. Ma allora la formula (4) vale anche per t = 1/2 ! Veramente non si tratta di una scoperta sorprendente! Per adesso avevamo definito potenze con esponenti razionali senza riferimento ad applicazioni concrete, ma soltanto per motivi formali - guidati soprattutto dall'intenzione di mantenere valida la regola (1) anche per esponenti razionali. - Non pensavamo affatto a batteri e processi di crescita. Eppure adesso scopriamo che la convenzione di scrivere la radice quadrata di a come a1/2 si confà alla descrizione della crescita di batteri. Anche il nostro calcolatore di crescita naturalmente conosce la convenzione - si provi a inserire 1/2 oppure 0.5 nella casella per l'esponente! Ma non abbiamo ancora finito: Non è difficile dimostrare che la formula (4) può essere applicata a qualsiasi lasso di tempo reale (positivo) t . In altre parole:
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Per
dimostrare quest'asserzione basta generalizzare l'argomento di prima da t = 1/2
a un t razionale qualsiasi  e
poi estendere al caso dove t è un numero reale.
Torneremo
più avanti
sul perché le funzioni esponenziali sono adatte a descrivere processi esponenziali
e ne capiremo meglio la ragione profonda
- connessa alla regola (1).Poiché t adesso può essere un punto qualsiasi sul ramo positivo della retta dei numeri, possiamo migliorare la rappresentazione grafica del processo: La linea rossa nel diagramma qui a fianco rappresenta il grafico della funzione esponenziale (5). Adesso possiamo risolvere semplici problemi del tipo: Qual è il numero di batteri dopo un'ora e un quarto? Soluzione: Un'ora e un quarto è pari a 1.25 ore. Inseriamo t = 1.25 in (4) e otteniamo (con l'ausilio del calcolatore di crescita) 2378.41423..., arrotondando: 2378 batteri. Dal punto di vista matematico però l'aspetto interessante non è inserire dei numeri in una formula, ma lo sviluppo di nuovi modelli di crescita. Altri processi di crescita esponenziale Molti sistemi si comportano in maniera simile ai nostri batteri visti sopra. Qui vogliamo citarne alcuni e mostrare come possono essere interpretati matematicamente. Due esempi:
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Cliccando qui
a fianco a destra si trovano altri esempi: la Legge di Moore sulla crescita esponenziale delle capacità
di memoria del computer e il modello di crescita esponenziale generale dove tutti i numeri
caratteristici sono variabili. |
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Non solo la crescita, anche la diminuzione di una grandezza può avvenire in maniera esponenziale. Per descrivere tali processi basterà modificare leggermente le nostre considerazioni. Pensiamo a una sostanza radioattiva, cioè una sostanza nella quale si trova un certo numero di nuclei atomici "disintegrabili". Prima o poi ognuno di questi nuclei si "disintegrerà", cioè libererà una particella elementare (emettendo radiazioni) e si trasformerà in un nucleo di tipo stabile. Più nuclei "disintegrabili" si trovano nella sostanza, più forte è la radiazione emessa. Poiché i nuclei "disintegrabili" vanno man mano esaurendosi, la radiazione emessa diminuirà con il passare del tempo. Assumiamo che la radiazione emessa dalla nostra sostanza sia caratterizzata dalle seguenti tre proprietà:
Questo può essere anche espresso come 1000 × (2-1)t e poiché
Scegliere (6) oppure (7) non cambia minimamente la descrizione del processo. Spesso si preferisce la seconda versione (7) in quanto il segno negativo nell'esponente ci mostra subito che si tratta di un processo di decadimento e non di crescita. Come nel paragrafo precedente si vede che queste due formule sono applicabili a qualsiasi t reale (positivo). Qui a fianco trovate il grafico della funzione (6) ovvero (7). Il nostro calcolatore di crescita può essere usato (malgrado il nome) anche per processi di decadimento. Si provi a calcolare l'intensità di radiazione dopo un'ora e un quarto (1.25 ore)! Un processo di questo tipo si chiama decadimento esponenziale. Il tempo necessario per ridurre la grandezza osservata alla metà del suo valore iniziale (nel nostro esempio: 1 ora) si chiama tempo di dimezzamento. Ovviamente anche in questo caso le nostre ipotesi iniziali (le tre proprietà di cui sopra ) ci forniscono soltanto un modello. Quando cresce t il valore 2-t cala "esponenzialmente" e raggiunge presto valori piccolissimi. Ma quando non ci sono più nuclei disintegrabili, o eventualmente anche prima, si raggiunge il limite del modello. |
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Confrontando questi esempi con quelli del paragrafo precedente vediamo che i processi di crescita o decadimento esponenziale sono descritti dal medesimo formalismo: quello della funzione esponenziale, le cui proprietà saranno oggetto del prossimo paragrafo. |
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Come abbiamo visto nei due paragrafi precedenti attraverso diversi esempi, un processo esponenziale è dato da una funzione esponenziale, cioè una funzione del tipo (3). La scriviamo così
In tutti gli esempi considerati le funzioni di crescita o decadimento hanno questa forma. Differiscono soltanto nei valori diversi per le costanti a (> 0), b e c (anche dette parametri). In seguito discuteremo alcune proprietà essenziali di queste funzioni. Perché le funzioni esponenziali sono adatte a descrivere processi esponenziali E' istruttivo soffermarsi un attimo su che cosa rende così speciali le funzioni di forma (8). Abbiamo caratterizzato i processi di crescita e decadimento attraverso il fatto che la grandezza osservata "aumenta (oppure cala) di uguale fattore in intervalli di uguale lunghezza", anche se non si tratta sempre di processi temporali, ma soltanto del variare di una grandezza in dipendenza dall'altra (come ad esempio l'intensità di un raggio luminoso in funzione dello spessore della lastra di vetro attraverso cui passa). Questa proprietà decisiva si ritrova nelle funzioni di tipo (8) nella forma seguente:
Ciò si dimostra facilmente inserendo x + s a posto di x nella (8):
La seconda uguaglianza segue da (1), la regola di calcolo fondamentale per le potenze, per la terza uguaglianza abbiamo impiegato (8). Questa identità vale per qualsiasi numero reale s, non solo per quelli positivi. Con ciò abbiamo anche dimostrato: Il "fattore che dipende solo da s", è abs. Si noti che non dipende da x. Scegliendo un x a piacere. Quando x aumenta (additivamente) di s, il valore della funzione varia (moltiplicativamente) del fattore abs. Questo intreccio di addizione e moltiplicazione deriva dalle proprietà delle potenze: la connessione fra il prodotto (di potenze) e la somma (degli esponenti) espressa in (1). Vediamo dunque che l'identità (1) è la ragione profonda del fatto che le funzioni esponenziali sono adatte a descrivere processi esponenziali. |
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Dominio Le funzioni esponenziali sono definite su tutti i numeri reali x, quindi il loro dominio è l'insieme R. Per modellare un processo esponenziale si utilizza spesso solo una parte del dominio (in genere x ³ 0) poiché ogni processo realistico possiede un punto di partenza. Monotonia e iniettività Vogliamo chiudere questo paragrafo con alcune proprietà importanti della funzione esponenziale. Consideriamo funzioni del tipo (8) con c > 0. Esse sono tutte positive: f(x) > 0 per ogni x Î R. Con l'abbreviazione A = ab abbiamo : |
Dominio di una funzione |
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Monotonia |
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La monotonia implica che le funzioni considerate (per c > 0 e A ¹ 1) sono iniettive. Ciò significa che non possono assumere lo stesso valore più di una volta.
L'ultima proprietà che menzioniamo è il fatto che ognuna delle funzioni considerate (per c > 0 e A ¹ 1) può assumere qualsiasi valore positivo (in altre parole: la sua immagine è l'insieme R+ ): I loro grafici si avvicinano a piacere all'asse delle ascisse x nella parte positiva oppure negativa (a seconda che A < 1 oppure A > 1) e tendono a infinito dall'altra parte. Quindi ogni numero positivo, per grande o piccolo che sia, viene assunto come valore della funzione. Insieme all'iniettività ciò significa che ogni numero positivo viene assunto come valore esattamente una volta. Per capire meglio queste proprietà
si consiglia di studiare alcuni di questi grafici (ad esempio per le
funzioni
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potenze e l'ordinamento di numeri reali funzioni iniettive |
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Il numero e fu scoperto nel diciottesimo secolo dal matematico svizzero Leonardo Eulero Come p si tratta di un numero irrazionale, e la sua rappresentazione decimale inizia così
Ecco una definizione concisa di: e è l'unico numero positivo per il quale
.  Nello schizzo qui a fianco troviamo i grafici di queste due funzioni: quello
di ex giace - a parte il
punto (0, 1) - completamente
"sopra" la retta che forma il grafico di 1+ x. La base e è l'unica ad avere questa proprietà:
Se a ¹ e, il grafico di
ax interseca la retta in
due punti e ne giace quindi parzialmente "al di sotto". Mettendo il Mouse
sopra lo schizzo comparirà anche il grafico di
2x per poter fare un confronto;
cliccando sul grafico comparirà il grafico 5x. Vogliamo contentarci di questa illustrazione
come ragione per l'esistenza e l'unicità del numero e. |
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Come mai diamo tanta importanza alla proprietà (13)? Ciò ha a che fare con
l'andamento per piccoli
x delle funzioni esponenziali di tipo (2), cioè
Ciò sta a indicare che per piccoli x la differenza fra le due espressioni ex e 1+ x è un numero di ordine di grandezza molto inferiore a x. Verifichiamolo numericamente per x = 0.01: Con il valore (12) calcoliamo e0.01 = 1.01005016..., la cui differenza da 1 + 0.01 è soltanto 0.00005016... un numero notevolmente più piccolo di 0.01 ! Quanto più piccolo sarà x, tanto migliore sarà l'approssimazione (14). Per altre basi non vale questo discorso: Se a ¹ e, allora per piccoli x abbiamo l'approssimazione La definizione (13) ci permette anche di calcolare e.
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e come base naturale Dal punto di vista dell'andamento per piccoli x abbiamo visto che e ha un ruolo speciale fra le varie basi di potenze. Per questo viene anche chiamata base naturale. La funzione
Questa notazione è particolarmente utile quando invece di x si ha un'espressione complicata. Quando si parla della funzione esponenziale, generalmente si intende questa funzione. Potete usare il calcolatore di crescita per trovare le potenze della base naturale, inserendo il numero 1 nella prima casella e la lettera E - che sta a indicare e - nella seconda casella. In molte applicazioni, quando si usano le funzioni esponenziali, si sceglie di lavorare con la base e . In particolare i processi di decadimento (ad esempio la decadimento radioattiva) studiati in fisica vengono espressi in forma
dove f è la grandezza studiata (ad es. l'intensità di radiazione), t rappresenta il tempo e l si chiama costante di decadimento. Vedremo più sotto come la costante radioattiva è legata al tempo di dimezzamento. Analogamente i processi di crescita vengono spesso espressi in forma |
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Scegliamo una base a > 0 (a ¹ 1) e consideriamo la funzione esponenziale
.In altre parole: L'equazione (18) ha una e una sola soluzione per x. Esempi: L'equazione 3x = 9 ha (l'unica) soluzione x = 2. L'equazione 16x = 4 ha (l'unica) soluzione x = 1/2. L'equazione (1/2)x = 8 ha (l'unica) soluzione x = -3. Ma qual è (l'unica) soluzione dell'equazione 3x = 8? Sarà un numero un po' più piccolo di 2, ma possiamo determinarlo con precisione? Purtroppo le operazioni che conosciamo per adesso non ci aiutano a risolvere il problema! La soluzione cercata è un numero irrazionale che non può essere espresso come frazione, radice o simili. Possiamo trovare delle approssimazioni per calcolarla numericamente. Per il momento però è più importante trovare un concetto matematico preciso.Cominciamo col darle un nome: si chiama il "logaritmo di 8 in base 3". In generale diremo:
Nota bene: Invece di alog b si usa molto spesso (ad esempio nel nostro Test!) la notazione loga b. Anche il calcolo numerico dei logaritmo sarà delegato a calcolatori tascabili o computer. Qui mettiamo a disposizione un calcolatore di Log: Si provi a calcolare le soluzioni delle equazioni menzionate sopra: 3log 9, 16log 4, 1/2log 8 e 3log 8. Quest'ultima risponde alla nostra domanda riguardo alla soluzione dell'equazione 3x = 8. Come ci dobbiamo immaginare il logaritmo? Si tratta dell'inverso dell'elevazione a potenza. Calcolare alog b risponde alla domanda: Con quale esponente si può rappresentare b come potenza di a, cioè per quale x si ha b = ax? In parole povere: Quante volte dobbiamo moltiplicare la base a "con se stessa" per ottenere b? Guardiamo ad esempio la base 10 che ci fornisce la rappresentazione decimale dei numeri reali: Abbiamo 10log 1000 = 3, poiché 1000 può essere scritto come 103. Dunque 10log 1000 è il numero degli zeri che si trovano nella rappresentazione decimale di 1000, cioè 3. Che 10log 0.01 = -2 deriva dal fatto che il numero 0.01 scritto come "potenza di dieci" è uguale a 10-2. La relazione 10log 1500 = 3.17609... deriva dal fatto che il numero 1500 scritto come "potenza di dieci" è uguale a 103.17609.... Per questa proprietà, di fornire l'esponente della rappresentazione come potenza di dieci, il logaritmo in base 10 è adatto a indicare grandi numeri. Ad esempio, per un numero la cui rappresentazione decimale possiede 54 cifre prima della virgola (e che quindi è molto grande), esso sarà compreso fra 53 e 54. Qui ci si basa sull'idea di utilizzare il "numero di cifre" come misura della grandezza di un numero. Questo approccio è molto utile quando in un problema compaiono numeri di ordine di grandezza diversa. . Funzioni logaritmiche Possiamo considerare il logaritmo anche in questi termini: La funzione esponenziale |
R+ Funzione inversa |
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Questa caratterizzazione ci dice immediatamente come
trovare il grafico della funzione logaritmo in base a partendo da quello della funzione esponenziale corrispondente:
Se nell'equazione (18) consideriamo il numero
b in dipendenza di
x possiamo scrivere la
funzione esponenziale come  . Adesso pensiamo di risolvere questa "equazione" in
x: La soluzione (univoca)
x
dipende dal numero b
per cui la funzione logaritmo può essere espressa in forma  l'asse di
b è orizzontale e l'asse delle
x è verticale.
La differenza fra i due sistemi cartesiani consiste soltanto nel fatto che la notazione degli assi è scambiata.
Poiché i due grafici raprresentano la medesima relazione, devono coincidere una volta
che x e b vengano scambiati.
Ma trasformare un punto in un sistema cartesiano con le coordinate (x, b)
in un punto con le coordinate (b, x) significa una simmetria rispetto alla prima
bisettrice, cioè alla retta passante per l'origine con coefficiente angolare
45° sulla quale b = x. Concludiamo che il grafico della funzione
logaritmo si ottiene dal grafico della funzione esponenziale con una
simmetria rispetto alla prima bisettrice. I due schizzi lo illustrano per la base a = 2 (la bisettrice è tratteggiata). I grafici per altre basi
a > 1 sono simili. |
Bisettrici |
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Basi speciali Alcune basi si usano più frequentemente:
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Come vedete
il simbolo "log" può avere diversi significati. Quando lo si incontra in un testo o
in uno strumento di calcolo,
bisogna sempre accertarsi di quale logaritmo
si tratta.
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Regole di calcolo per il logaritmo La definizione del logaritmo può essere riassunta nell'identitá
Quando un numero (indicato con b nella definizione di cui sopra) può essere scritto come ax, il suo logaritmo (in base a) è uguale a x. Qui vediamo di nuovo il ruolo del logaritmo come esponente. Se poniamo x = 1, abbiamo l'identità La regola principale nell'uso dei logaritmi deriva immediatamente dall'identità (1) per le potenze (la quale, come abbiamo visto sopra, vale anche per esponenti reali). Vediamo come si ricava: Fissiamo innanzitutto una base a > 0 (a ¹ 1). Inoltre consideriamo due numeri positivi arbitrari b, c e indichiamo i loro logaritmi con x = alog b e y = alog c. Ciò significa che, scritti come potenze di a, i nostri numeri hanno la forma b = ax e c = a y . Adesso calcoliamo il loro prodotto
per tutti i b, c > 0. In parole: Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi. Possiamo considerare questa identità come "l'inverso" della regola (1), ed è su questa che si fonda l'importanza del logaritmo. |
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Altre due regole:
per ogni b, c > 0 e k un numero reale arbitrario. Come caso particolare troviamo (ponendo k = -1 nella prima oppure b = 1 nella secondaidentità)
per ogni b > 0. Queste regole vi sembreranno più naturali se proverete a verificarle in base dieci con potenze "rotonde" di dieci. Ad esempio lg 100 = 2 (il "numero di zeri") e lg 1000 = 3, quindi lg 100000 = 5 = 2 + 3. In questo esempio l'identità (21) si riduce a contare gli zeri. |
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Adesso siamo in grado di semplificare espressioni contenenti logaritmi.
Esempio: Si semplifichi l'espressione
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Il concetto di logaritmo ci permette di risolvere problemi che si presentano tipicamente in connessione con processi di crescita o decadimento. Vediamo due esempi: Esempio 1: Una colonia composta inizialmente da 1000 batteri cresce esponenzialmente e raddoppia la sua grandezza ogni ora. Quando conterrà 7000 batteri ?
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Esempio 2: L'intensità di una sostanza radioattiva dopo 5 anni scende a 1/3 del valore iniziale. Si determini il tempo di dimezzamento, cioè il tempo necessario affinché l'intensità sia dimezzata.
Nelle equazioni (25) e (28) l'incognita si trovava nell'esponente e abbiamo usato il logaritmo come mezzo per estrarla. A volte si hanno anche equazioni come
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trasformazioni equivalenti |
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che contengono già logaritmi. Per risolvere questo tipo di equazioni, cominciamo con l'osservare che hanno soltanto un senso quando x2 e x + 1 sono entrambi positivi. L' insieme di definizione dell'equazione è quindi
Poiché il logaritmo è una funzione iniettiva, gli argomenti devono coincidere:
e, togliendo le parentesi, otteniamo un'equazione lineare con la soluzione x = -1/2 . Dato che si tratta di un valore contenuto nell'insieme di definizione, abbiamo dunque trovato l'(unica) soluzione dell'equazione (31). |
L'insieme di definizione di un'equazione |
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Per completezza dobbiamo aggiungere che non tutte le equazioni contenenti
potenze o logaritmi dell'incognita possono essere risolte con queste
tecniche. Può capitare che un'equazione del genere abbia una soluzione, ma
che questa non possa essere espressa con i metodi che conosciamo. In tal
caso non ci resta che applicare metodi grafici o numerici. Un esempio è
l'equazione |
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