Osservazione 1:

Ecco la definizione dell'insieme dei numeri razionali come sottoinsieme dell'insieme dei numeri reali:

Osservazione 2:

Perché questo insieme è uguale all'insieme dei numeri reali la cui rappresentazione decimale da un certa cifra in poi consiste soltanto di zeri oppure diventa periodica?

Consideriamo una frazione come ¹²/₇ ed eseguiamo la divisione passo per passo su un foglio. In ogni passo - dopo la divisione - si annota il resto e si aggiunge uno 0:

Nel nostro esempio (divisione per 7) il resto sarà sempre un numero fra 0 e 6. Se a un certo punto compare il resto 0, abbiamo terminato il calcolo e il risultato è un numero la cui rappresentazione decimale da un certa cifra in poi consiste soltanto di zeri. Altrimenti - come nel nostro esempio -  dopo al massimo 7 passi, compare nuovamente uno dei resti precedenti. Ma allora si ripetono anche tutti i passi successivi e quindi anche la successione di cifre nel risultato. Concludiamo che il risultato è un numero decimale periodico.

Questo schema è valido in generale: Quando un numero intero viene diviso per un altro numero intero (¹0), il risultato è un numero la cui rappresentazione decimale da un certa cifra in poi consiste soltanto di zeri oppure diventa periodica.

Viceversa, dato un numero, la cui rappresentazione decimale da un certa cifra in poi consiste soltanto di zeri oppure diventa periodica, possiamo sempre scriverlo come frazione ''numero intero/numero intero''? La risposta è ''sì''. Quando la rappresentazione decimale da un certa cifra in poi consiste soltanto di zeri, si vede facilmente. Ad esempio