Dimostriamo che Ö2 è un numero irrazionale:

La seguente dimostrazione era già nota agli antichi. Ci è stata trasmessa da Euclide (Euclide di Alessandria). Si tratta di una "dimostrazione per assurdo". Proviamo cioè ad assumere che sia vero il contrario.

Assumiamo quindi che Ö2 sia un numero razionale. In tal caso lo possiamo scrivere come frazione del tipo

Ö2  =   m
n
(1)
con m ed n due numeri naturali. Possiamo scegliere m ed n in maniera tale che siano primi fra loro (cioè non abbiano un divisore in comune). In particolare allora m ed n non sono entrambi pari.

Poiché il quadrato di Ö2 è 2, abbiamo per la  (1)

2  =   m2
n2
,
(2)
cioè m2 è il doppio di n2. Possiamo anche scrivere
2 n2   =  m2
(3)
Allora m2 è divisibile per 2, cioè è un numero pari. Ma allora anche m deve essere pari  (perché il quadrato di un numero pari è pari, e il quadrato di un numero dispari è dispari).

Da ciò deduciamo (e questo è il punto fondamentale) che m2 non è soltanto pari, ma possiede perfino 4 come divisore: Infatti m è pari e può essere quindi scritto come

m  =  2 k
(4)
per un numero naturale k appropriato. Segue che
m2   =  4 k2.
(5)
Inserendo questa espressione nella (3) otteniamo
2 n2  =  4 k2,
(6)
da cui deduciamo che n2 è il doppio di k2 (formalmente: n2 = 2 k2). Ciò dimostra che n2 è pari, e perciò anche n è pari.

Abbiamo quindi dimostrato che sia  n sia m sono numeri pari. Ma ciò contraddice quello che avevamo osservato prima.

Assumendo che Ö2 è razionale abbiamo ottenuto una contraddizione (logica). Così abbiamo dimostrato che:

Ö2 non può essere scritto come frazione del tipo (1), quindi non è un numero razionale.


Osservazione:

Ö2 è esattamente la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato 1 (per il Teorema di Pitagora: 12 + 12 = Diagonale2 ). L'irrazionalità di Ö2 dimostra che il rapporto diagonale/lato nel quadrato non è razionale. Ciò significa che anche le figure geometriche più semplici non possono essere costruite "attaccando" copie di segmenti di "lunghezza elementare minima". Si pensa che questa scoperta del quinto secolo avanti Cristo abbia provocato una delle prime crisi dei fondamenti della matematica.