Numeri

Riassunto:

Oltre a saper lavorare con i numeri è importante anche avere una visione strutturale dei numeri e delle loro operazioni.

Parole chiave:

Insiemi di numeri

Quasi tutti i numeri che compaiono nella matematica del liceo sono numeri reali. I numeri reali non sono altro che i numeri decimali che possono essere rappresentati da una successione di cifre (cioè simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), una virgola e un segno (- oppure +, e quest'ultimo in genere non si scrive esplicitamente).

Esempi di numeri reali sono -5 (''meno cinque''), 54.321 (''cinquantaquattro virgola tre due uno'') e numeri la cui rappresentazione decimale non ha termine, perché

le cifre si ripetono periodicamente (come -0.33333333... e 34.12121212...; in tal caso si chiamano periodici), oppure
vi è un altro tipo di regolarità (come 0.101001000100001...) oppure
non vi è regolarità evidente, come nel caso del famoso Pi greco (p = 3.14159265...) che indica il rapporto fra circonferenza e diametro in un qualsiasi cerchio.

L'insieme di tutti i numeri reali si indica con R.

Insiemi

In un certo senso possiamo immaginare i numeri reali anche come oggetti geometrici, cioè come punti su una retta. Chiamiamo due punti di questa retta reale 0 e 1 e raffiguriamo l'insieme R dei numeri reali come nel diagramma seguente, dove abbiamo riportato alcuni numeri reali con una marcatura:

Possiamo pensare a un nastro di lunghezza infinita con marcatura talmente fine da permettere misurazioni infinitamente precise.

Alcuni sottoinsiemi di R sono particolarmente importanti:

sottoinsieme

I numeri naturali sono i numeri che si usano per contare: 1, 2, 3, 4,... Sono esattamente quei numeri reali positivi la cui rappresentazione decimale termina dopo la virgola, cioè contiene soltanto zeri ( 5 coincide con 5.0000...) L'insieme di tutti i numeri naturali si indica con N :

N = {1, 2, 3, 4, ...}.

(1)

Sulla retta reale esso forma una successione di punti a distanza 1, partendo da 1 verso destra.

A volte può essere utile iniziare a contare da 0. Aggiungendo lo zero all'insieme dei numeri naturali si ottiene

N₀ = {0} È N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.

(2)

Attenzione: In alcuni libri i numeri naturali partono da zero e l'insieme dei numeri naturali N indica quello che noi abbiamo chiamato N₀ .

I numeri interi sono quei numeri reali la cui rappresentazione decimale termina dopo la virgola, cioè contiene soltanto zeri. L'insieme dei numeri interi si indica con Z :

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.

(3)

Sulla retta reale esso forma una successione di punti a distanza 1, partendo da 0 verso destra e sinistra.

I numeri razionali sono quei numeri reali la cui rappresentazione decimale da un certa cifra in poi consiste soltanto di zeri oppure diventa periodica (Esempi: 0.4 e -11.2181818...). Si dimostra che essi sono esattamente quei numeri reali che possono essere rappresentati come quoziente di un numero intero per un altro numero intero (diverso da 0). (Ad esempio. -11.2181818... coincide con -617/55, si clicchi qui a fianco a destra per dettagli). I numeri razionali sono quindi le frazioni di forma ''numero intero/numero intero'' . Li possiamo scrivere come frazioni o con la loro rappresentazione decimale. Per un numero come ²/₃ (che coincide con 0.6666... ) sarà preferibile la forma come frazione.
L'insieme dei numeri razionali si indica con Q.
Sulla retta reale esso forma un insieme di punti estremamente "densi" : Fra due numeri razionali è sempre possibile trovarne un terzo (anzi, un numero infinito di altri numeri razionali).

I numeri irrazionali sono quei numeri reali che non sono razionali. Cioè quelli la cui rappresentazione decimale non termina né è periodica (Esempi: 0.1010010001000001... oppure p), sono quindi quelli che non possono essere scritti come quoziente di due numeri interi. L'insieme dei numeri irrazionali può essere indicato con R \ Q : l'insieme degli elementi di R che non sono contenuti in Q.

il simbolo \
(insieme differenza)

Sull'insieme dei numeri reali abbiamo le strutture algebriche Addizione e Moltiplicazione, connesse fra loro dalla regola

2 × ( 4 + 6 ) = 2 × 4 + 2 × 6.

(17)

detta ''legge distributiva''. L'operazione di addizione dà luogo (in un certo senso come "inversione") a un'altra operazione, la sottrazione. Analogamente la moltiplicazione da luogo alla divisione.

A differenza della sottrazione, dobbiamo fare una restrizione importante per la divisione: non è permesso dividere per zero. Infatti la domanda fondamentale su cui si basa la divisione è: 0 × quanto = 1? Ma moltiplicare un numero per 0 da sempre 0, e quindi mai 1 ! Interpretando la divisione come "l'inverso" della moltiplicazione vediamo che la divisione per 0 non è definita.

Divisibilità

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Un concetto importante nell'ambito dei numeri naturali è il concetto di multiplo. Ad esempio 12 è un multiplo di 3 (il quadruplo) poiché la divisione 12/3 ci da il risultato intero 4. Diremo anche che '' 3 divide oppure è un divisore di 12".

5 non è un divisore di 21 poiché 21/5 non è un numero intero. In altre parole, 21 non è un multiplo di 5: non esiste un numero intero n, tale che 21 = 5 n. Possiamo però esprimere 21 come 21 = 5 × 4 + 1. Il numero 1 è il resto della divisione di 21 per 5.

La divisibilità si estende in maniera ovvia anche ai numeri relativi (ad esempio, 3 è un divisore di -12). Un numero intero si dice pari se possiede 2 come divisore, altrimenti si dice dispari.

Ogni numero intero possiede se stesso ed il numero 1 come divisore. Un numero naturale che non possiede altri divisori oltre a questi due (1 e se stesso) si dice primo. Ad esempio 7 è un numero primo poiché nessuno dei numeri 2, 3, 4, 5 e 6 è suo divisore, e naturalmente neanche i numeri maggiori di 7 sono suoi divisori. L'elenco dei numeri primi inizia così 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Con i numeri primi possiamo "costruire" tutti i numeri naturali. Ciascun numero naturale può essere scritto in maniera univoca come prodotto di numeri primi.
Esempio: Il numero 18 può essere scritto come prodotto 2 × 9. Il fattore 9 può essere ulteriormente scomposto come 3 × 3, per cui si ha 18 = 2 × 3 × 3. Un'ulteriore scomposizione non è possibile poiché 2 e 3 sono numeri primi. Questa è la scomposizione in fattori primi di 18. i numeri 2 e 3 si chiamano fattori primi oppure divisori primi. (Il fattore 2 compare solo una volta, mentre 3 compare due volte. Si parla di molteplicità di un fattore primo). Abbreviando 3 × 3 = 3² (''vedi sotto) possiamo scrivere la scomposizione in fattori primi di 18 come

18 = 2 × 3².

(18)

Si dimostra che ogni numero naturale possiede solo una scomposizione in fattori primi (cioè che essa è univoca).

Già nell'antichità era noto che esiste un numero infinito di numeri primi. La dimostrazione del matematico greco Euclide (circa 300 avanti Cristo) si trova cliccando qui a fianco a destra. .

Dimostrazione

L'ordinamento dei numeri reali: < , ≤ , > e ≥

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Se abbiamo due numeri reali, uno è sempre minore dell'altro (quindi l'altro maggiore del primo). Se pensiamo alla retta reale (vedi sopra) possiamo dire che un numero è minore di un altro se giace alla sua sinistra. Quindi -5 è minore di 3 (e 3 è maggiore di -5), in simboli

-5 < 3 3 > -5

(19)

Possiamo anche esprimere che un numero reale è minore oppure uguale (''minore-uguale'') di un altro (cioè che l'altro è maggiore oppure uguale, cioè "maggiore-uguale" del primo) scrivendo

3 ≤ 5, 4 ≤ 4, 5 ≥ 3, 4 ≥ 4.

(20)

Questi simboli sono utili quando vogliamo descrivere sottoinsiemi dell'insieme R dei numeri reali. Ad esempio

R⁺ = { x ∈ R | x > 0 }

(21)

è l'insieme di tutti i numeri reali positivi e

R₀⁺ = { x ∈ R | x ≥ 0 } = {0} ∪ R⁺

(22)

è l'insieme di tutti i numeri reali non negativi. In altre parole, sulla retta reale R⁺ è l'insieme di tutti i punti che giacciono a destra rispetto a 0 (escluso lo 0), mentre R₀⁺ comprende anche 0.

I sottoinsiemi connessi di R (cioè della retta reale) si chiamano intervalli. Si indicano con parentesi ( ) [ ] distinguendo intervalli aperti (quando non comprendono gli estremi), ad esempio

(-1, 2) = { x Î R | -1 < x < 2 },

(23)

e intervalli chiusi (quando comprendono gli estremi), ad esempio

[-1, 2] = { x Î R | -1 £ x £ 2 }

(24)

oppure semichiusi come

(-1, 2] = { x Î R | -1 < x £ 2 }.

(25)

Un intervallo può anche essere illimitato, come

R⁺ = (0, ¥) e R₀⁺ = [0, ¥),

(26)

dove ¥ sta a indicare "infinito". Ecco un esempio di intervallo illimitato a sinistra:

(-¥, 3] = { x Î R | x £ 3 }.

(27)

Il valore assoluto

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Il valore assoluto di un numero reale si ottiene "ponendo il segno del numero sul +". Si indica con il simbolo | | . Esempi:

| 5.1 | = 5.1 | -7.3 | = 7.3 | p | = p | -p | = p

Al numero 0 si assegna il valore assoluto 0, quindi: | 0 | = 0.

Sulla retta reale il valore assoluto è la distanza (sempre ³ 0) di un numero dallo zero. Una grandezza come | 12.1 - 13.1 | misura la distanza (positiva) fra i due punti 12.1 e 13.1 della retta reale (che in questo caso è pari a 1). Questo tipo di notazione è utile quando si vuole esprimere che due numeri sono vicini l'uno all'altro (senza entrare nel merito su quale è maggiore dell'altro).

Potenze

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Le potenze sono innanzitutto una maniera di indicare la moltiplicazione multipla di un numero con se stesso. Ad esempio

5² = 5 × 5 = 25, 5³ = 5 × 5 × 5 = 125,
5⁴ = 5 × 5 × 5 × 5 = 625,

(28)

(''5 al quadrato'' oppure ''5 alla seconda'', ''5 al cubo'' oppure ''5 alla terza'' , ''5 alla quarta''). Poniamo inoltre

5¹ = 5 e 5⁰ = 1

(29)

(nel primo caso 5 compare una volta sola, nel secondo non compare affatto, quindi 0 volte). I numeri scritti in alto si chiamano esponenti. Al posto di 5 possiamo ovviamente mettere qualsiasi numero reale.

Le regole per la moltiplicazione implicano 0² = 0³ = ... 0. Ecco due esempi di potenze di numeri negativi:

(-5)² = 25 (-5)³ = -125

(30)

Due segni negativi "si neutralizzano", per cui la potenza di un numero negativo è positiva (negativa) quando l'esponente è pari (dispari).

Da ciò segue:

Il quadrato di un numero reale è sempre ³ 0.
Il quadrato di un numero diverso da zero è sempre > 0.

La potenza di una frazione si calcola elevando a potenza numeratore e denominatore :

æ
ç
è

ö
÷
ø

2²

3²

(31)

Ciò segue dalle regole per la moltiplicazione di due frazioni.

In tutti questi esempi gli esponenti sono numeri naturali (oppure 0). Esistono anche potenze con esponente negativo oppure non-intero. Di questo parleremo in un capitolo successivo.

Potenze

Radici

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Per adesso, fondamentalmente, abbiamo soltanto parlato di regole di calcolo. Passiamo ora a un primo "vero" problema matematico: Dato un numero reale positivo, esiste un numero reale il cui quadrato è il numero dato?

Primo esempio: Iniziamo con il numero 4. Esistono addirittura due soluzioni al nostro problema, -2 e 2. Quella positiva si chiama radice (o meglio, radice quadrata) di 4, in simboli:

__
Ö 4

= 2

(32)

Analogamente Ö9 = 3, Ö16 = 4, Ö25 = 5 ecc.

Altro esempio: Esiste un numero reale, il cui quadrato è 2? Invece di una dimostrazione rigorosa, preferiamo discutere intuitivamente: Poiché 1² = 1 < 2, il numero 1 ''è troppo piccolo'' per essere preso in considerazione come Ö2. Aumentiamolo un po'. 1.01² = 1.0201 < 2, quindi 1.01 è ancora troppo piccolo. Continuiamo ad aumentarlo a piccoli passi. Quando avremo raggiunto 1.5, il nostro calcolo 1.5² = 2.25 > 2 ci mostrerà che abbiamo già oltrepassato la meta: Il numero 1.5 è troppo grande per essere Ö2. Adesso pensiamo di cominciare da 1 e aumentare il numero non a piccoli passi, ma continuamente, fino a raggiungere il numero 1.5 (immaginiamo quindi di muovere un punto sulla retta reale spostandolo da 1 verso destra fino a 1.5). In un qualche punto fra 1 e 1.5, troveremo un numero il cui quadrato è 2. Questa osservazione è basata sul fatto che piccole variazioni del numero implicano solo piccole variazioni del suo quadrato (nel linguaggio matematico ciò si esprime dicendo che calcolare il quadrato è una funzione continua).

Concludiamo (e ciò si può dimostrare rigorosamente): Esiste esattamente un numero reale positivo il cui quadrato è 2. Si chiama la radice (più precisamente, la radice quadrata) di 2 e si indica con Ö2. Essa si trova fra 1 e 1.5. Abbiamo inoltre che anche il quadrato di -Ö2 è 2 (perché calcolando il quadrato il segno negativo scompare). -Ö2 si trova fra -1.5 e -1.

La rappresentazione decimale di Ö2 è 1.41421... Per indicare il numero con esattezza dobbiamo usare il simbolo Ö2. Non c'è ragione di sostituirlo con un valore approssimato come 1.4142.

Lo stesso argomento vale per per qualsiasi numero reale positivo: Esistono sempre due numeri (distinti solo dal segno) il cui quadrato è il numero dato. Quello positivo viene detto radice. Così si definiscono le radici Ö3, Ö1.5 e Öp (il cui valore approssimato può essere determinato con un calcolatore).

Il numero 0 è un caso limite. Qui abbiamo solo un numero il cui quadrato è 0, lo 0 stesso. Quindi Ö0 = 0.

Si noti che non esiste però alcun numero reale il cui quadrato sia un numero negativo. Infatti abbiamo visto prima che il quadrato di qualsiasi numero reale è sempre ³ 0. (Esiste un concetto di numero più generale, i cosiddetti "numeri complessi'', che permette di estrarre la radice anche da numeri negativi).

Solo raramente la radice di un numero naturale è un numero naturale. Ciò vale per i "numeri quadrati'' 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, ... . Negli altri casi le radici sono irrazionali.

Già nell'antichità era noto che Ö2 è un numero irrazionale. Cliccando qui a fianco a destra troverete la dimostrazione trasmessaci da Euclide (che probabilmente era già nota ai Pitagorici del quinto secolo avanti Cristo).

Per motivi che capiremo più avanti, le radici quadrate vengono a volte scritte come potenze con esponente ¹/₂ :

16^1/2 =

__
Ö16

= 4.

(33)

Due regole per il calcolo con le radici:

1. ) La radice di un prodotto è il prodotto delle radici, ad esempio Ö(4×9) = Ö4 Ö9 (si verifichi!).

2. ) La radice di una frazione si calcola estraendo la radice da numeratore e denominatore:

æ
Ö

Ö4

Ö9

(34)

Ciò segue da 1. ) e dalle regole per la moltiplicazione di frazioni.

Menzioniamo infine le radici n-esime. Ad esempio, la radice quarta di 17 è quel numero reale positivo la cui quarta potenza è 17. La sua rappresentazione decimale è 2.03054... La radice terza è anche detta radice cubica.

esponenti razionali